Istituzioni di Geometria

n-Varietà

Vogliamo definire una n-varietà (liscia), vediamo prima varie definizioni già note e poi quella che useremo noi.

§ Definizione (n-varietà topologica). Una n-varietà topologica è uno spazio topologico X Hausdorff, a base numerabile e localmente omeomorfo a \mathbb{R}^n.

Ricordiamo che Hausdorff significa che per ogni coppia di punti x, y \in X esistono intorni disgiunti U_x, U_y di x e y rispettivamente. A base numerabile significa che esiste un insieme numerabile di aperti \{ U_i \}_{i \in \mathbb{N}} tale che ogni aperto di X è unione di aperti di questo insieme. Infine, localmente omeomorfo a \mathbb{R}^n significa che per ogni punto p \in X esiste un intorno U_p di p e un omeomorfismo \varphi_p: U_p \to V_p con V_p \subseteq \mathbb{R}^n aperto.

A GTD si vede anche un’altra definizione che invece deriva direttamente dall’idea intuitiva di varietà come “superficie” immersa in uno spazio più grande.

§ Definizione (n-varietà immersa). Una n-varietà è un sottoinsieme S \subseteq \mathbb{R}^N con N \ge n tale che per ogni punto p \in S esiste un intorno U_p di p in \mathbb{R}^N e una mappa \varphi_p: U_p \cap S \to V_p con V_p \subseteq \mathbb{R}^n aperto (con una certa regolarità fissata…)

Vorremmo avere una definizione intrinseca come la prima, cioè senza richiere che la varietà sia immersa in uno spazio più grande ma che ci permetta comunque di fare derivate come invece la seconda definizione.

Vediamo ora una definizione intrinseca e che ci permette di fare derivate, seguendo la costruzione di Whitney degli anni ‘30.

§ Definizione. Sia M una n-varietà topologica, definiamo:

  • Una carta è un omeomorfismo \varphi: U \to V con U \subseteq M e V \subseteq \mathbb{R}^n aperto.

  • Un atlante è un insieme \mathcal{A} = \{ \varphi_i: U_i \to V_i \}_{i \in I} di carte tali che \bigcup_{i \in I} U_i = M.

  • Dato un atlante \mathcal{A}, se U_i \cap U_j \neq \emptyset, otteniamo una mappa di transizione \varphi_{ij} : \varphi_i(U_i \cap U_j) \to \varphi_j(U_i \cap U_j) definita come \varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}.

Osserviamo che le mappe di transizione sono definite su aperti di \mathbb{R}^n quindi ha senso parlare della loro regolarità, ad esempio se sono continue, differenziabili, lisce, ecc.

§ Definizione. L’atlante \mathcal{A} è liscio se ogni mappa di transizione \varphi_{ij} è liscia, cioè di classe C^\infty.

§ Definizione. Due atlanti lisci \mathcal{A}, \mathcal{A}' sono compatibili se \mathcal{A} \cup \mathcal{A}' è ancora un atlante liscio.

§ Definizione. Un atlante è massimale se contiene tutti gli atlanti compatibili con lui.

Ogni atlante liscio è contenuto in un unico atlante massimale, che si ottiene aggiungendo tutti gli atlanti compatibili con lui.

§ Definizione. Una struttura liscia su una n-varietà topologica M è data da un atlante liscio massimale per M.

Concretamente, si definisce una varietà topologica M ed un atlante liscio \mathcal{A} su M. Questo determina un unico atlante massimale.

Esempio (Aperti di \mathbb{R}^n). Sia U \subseteq \mathbb{R}^n un aperto. L’atlante naturale su di esso è \mathcal{A} = \{ \text{id} : U \to U \}.

§ Definizione. Una varietà liscia è una varietà topologica munita di una struttura liscia ovvero la coppia (M, \mathcal{A}) dove \mathcal{A} è un atlante liscio massimale su M.

Primi esempi di varietà lisce

Esempio. Se M è una varietà liscia, ogni aperto U \subseteq M eredita una struttura di varietà liscia.

Esercizio: Se M è una varietà topologica, allora U è una varietà topologica (segue da proprietà topologiche note).

Definiamo un atlante liscio su U restringendo le carte dell’atlante massimale \mathcal{A} di M:

\mathcal{A}_U := \{ \varphi|_U : U \cap V \to \varphi(U \cap V) \mid \varphi \in \mathcal{A} \}

Se \varphi : V \to W è una carta in \mathcal{A}, allora \varphi|_U : V \cap U \to \varphi(V \cap U) \subseteq W.

Vediamo ora un esempio più interessante in cui serve usare più di una carta per ricoprire la varietà.

Esempio (Sfera n-dimensionale). La sfera è definita come \mathbb S^n := \{ x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \|x\| = 1 \}.

  • Esercizio: Dimostrare che \mathbb S^n è una varietà topologica.

Assegniamole una struttura liscia naturale. Per ogni i = 1, \dots, n+1, definiamo gli aperti:

U_i^\pm = \{ x \in \mathbb S^n \mid \pm x^i > 0 \}

Qui x^i indica l’ i-esima componente (usiamo cuesta notazione che sarà avrà più senso per quando faremo i tensori).

Questi 2n+2 aperti ricoprono \mathbb S^n. Definiamo le mappe \varphi_i^\pm : U_i^\pm \to B^n \subseteq \mathbb{R}^n, dove B^n = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| < 1 \}:

\varphi_i^\pm(x^1, \dots, x^{n+1}) = (x^1, \dots, \hat{x}^i, \dots, x^{n+1})

L’inversa è data da (\varphi_i^\pm)^{-1} : B^n \to \mathbb S^n:

(\varphi_i^\pm)^{-1}(y^1, \dots, y^n) = (y^1, \dots, y^{i-1}, \pm \sqrt{1 - \|y\|^2}, y^i, \dots, y^n)

L’atlante \mathcal{A} = \{ \varphi_i^\pm \} è liscio poiché le mappe di transizione \varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1} sono lisce.

Osservazione (Costruzione alternativa). Si può definire un atlante per \mathbb S^n con solo due carte tramite la proiezione stereografica:

  • Siano N = (0, \dots, 0, 1) il polo nord e S = (0, \dots, 0, -1) il polo sud.

  • Definiamo gli aperti U = \mathbb S^n \setminus \{N\} e U' = \mathbb S^n \setminus \{S\}.

  • Le mappe \varphi_N : U \to \mathbb{R}^n e \varphi_S : U' \to \mathbb{R}^n formano un atlante liscio \mathcal{A}' = \{ \varphi_N, \varphi_S \}.

Gli atlanti \mathcal{A} (delle calotte) e \mathcal{A}' (stereografico) sono compatibili, quindi definiscono la stessa struttura differenziabile su \mathbb S^n.

Esempio (Spazi proiettivi). Sia V uno spazio vettoriale su \mathbb{K} = \mathbb{R} oppure \mathbb{C} di dimensione finita. Lo spazio proiettivo è definito come l’insieme delle rette passanti per l’origine:

\mathbb{P}(V) = \{ v \in V \mid v \neq 0 \} / \sim \quad \text{dove } v \sim \lambda v, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda \neq 0

Definizione (Spazio proiettivo reale/complesso). Definiamo \mathbb{K}\mathbb{P}^n := \mathbb{P}(\mathbb{K}^{n+1}) come lo spazio proiettivo reale (se \mathbb{K}=\mathbb{R}) o complesso (se \mathbb{K}=\mathbb{C}) di dimensione n.

Esercizio: Dimostrare che \mathbb{R}\mathbb{P}^n e \mathbb{C}\mathbb{P}^n sono varietà topologiche di dimensione rispettivamente n e 2n, connesse e compatte.

Costruiamo un atlante liscio per entrambi. Ogni punto P \in \mathbb{K}\mathbb{P}^n ha coordinate omogenee [x_1, \dots, x_{n+1}]. Per ogni i = 1, \dots, n+1, definiamo gli aperti:

U_i = \{ x_i \neq 0 \} \subseteq \mathbb{K}\mathbb{P}^n

Definiamo le carte \varphi_i : U_i \to \mathbb{K}^n:

\varphi_i([x_1, \dots, x_{n+1}]) = \left( \frac{x_1}{x_i}, \dots, \frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i}, \dots, \frac{x_{n+1}}{x_i} \right)

L’inversa \varphi_i^{-1} : \mathbb{K}^n \to U_i è data da:

\varphi_i^{-1}(y^1, \dots, y^n) = [y^1, \dots, y^{i-1}, 1, y^i, \dots, y^n]

Poiché ogni \varphi_i è un omeomorfismo, \mathcal{A} = \{ \varphi_i : U_i \to \mathbb{K}^n \} è un atlante liscio che definisce la struttura di varietà liscia su \mathbb{K}\mathbb{P}^n.

No prior topology

Vediamo ora una tecnica detta no prior topology per definire una struttura di varietà su un insieme X senza una topologia pre-esistente, in questo caso possiamo semplificare le verifiche da fare ed ottenere la struttura topologica come indotta dall’atlante stesso.

§ Definizione (Struttura di varietà su un insieme). È possibile definire una struttura di varietà su un insieme X senza una topologia pre-esistente:

  • Una carta è una mappa \varphi_i: U_i \to V_i biunivoca tra un sottoinsieme U_i \subseteq X e un aperto V_i \subseteq \mathbb{R}^n.

  • Un atlante su X è un insieme \mathcal{A} = \{ \varphi_i: U_i \to V_i \} di carte tali che \bigcup_i U_i = X.

  • L’atlante è liscio se \forall i, j tali che U_i \cap U_j \neq \emptyset:

    • \varphi_i(U_i \cap U_j) e \varphi_j(U_i \cap U_j) sono aperti di \mathbb{R}^n.
    • La mappa di transizione \varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1} è liscia.

Osservazione. Sia \mathcal{A} un atlante liscio su X. Definiamo su X la topologia più debole che rende le \varphi_i continue. Concretamente: U \subseteq X \text{ è aperto } \iff \varphi_i(U \cap U_i) \text{ è aperto in } \mathbb{R}^n, \forall i

Esercizio. Se X con questa topologia è Hausdorff e a base numerabile, allora è una varietà topologica con una struttura liscia data da \mathcal{A}.

Esempio (Grassmanniane). Sia V uno spazio vettoriale su \mathbb{K} = \mathbb{R} o \mathbb{C} con \dim V = n. Per 1 \le k < n, definiamo la Grassmanniana come l’insieme dei sottospazi vettoriali di dimensione k: Gr_k(V) = \{ W \subseteq V \mid W \text{ è sottospazio vettoriale}, \dim W = k \} Si noti che Gr_1(V) = \mathbb{P}(V), quindi le Grassmanniane generalizzano lo spazio proiettivo.

Definiamo direttamente un atlante liscio (che indurrà anche la topologia). Sia \mathcal{B} = \{v_1, \dots, v_n\} una base di V e consideriamo la decomposizione in somma diretta:

  • W := \text{span}\{v_1, \dots, v_k\}

  • Z := \text{span}\{v_{k+1}, \dots, v_n\} Tale che V = W \oplus Z. Definiamo l’aperto dell’atlante come: U_{\mathcal{B}} = \{ W' \in Gr_k(V) \mid W' \oplus Z = V \} Si osservi che W \in U_{\mathcal{B}}.

Consideriamo la mappa:

\begin{aligned}
F : \underbrace{Z \times \dots \times Z}_{k \text{ volte}} &\to U_{\mathcal{B}} \\
(z_1, \dots, z_k) &\mapsto \text{span}\{v_1 + z_1, \dots, v_k + z_k\}
\end{aligned}

Esercizio. Dimostrare che F è biunivoca.

Otteniamo quindi una carta \varphi_{\mathcal{B}} : U_{\mathcal{B}} \to Z^k \cong (\mathbb{K}^{n-k})^k = \mathbb{K}^{k(n-k)} definita come \varphi_{\mathcal{B}} := F^{-1}.

L’atlante \mathcal{A} = \{ \varphi_{\mathcal{B}} : U_{\mathcal{B}} \to \mathbb{K}^{k(n-k)} \} (al variare delle basi) è liscio, il che rende la Grassmanniana Gr_k(V) una varietà liscia.

Funzioni lisce e diffeomorfismi

§ Definizione. Una funzione f: M \to N tra due varietà lisce è liscia se lo è letta in carte, cioè \forall p \in M esistono una carta \varphi: U(p) \to V su M e una carta \psi: W(f(p)) \to Z su N con f(U) \subseteq W tali che la mappa: F: V \to Z, \quad F = \psi \circ f \circ \varphi^{-1} sia liscia.

Esempio. Una funzione f: U \to V tra aperti U \subseteq \mathbb{R}^m e V \subseteq \mathbb{R}^n è liscia nel senso delle varietà se e solo se è liscia nel senso usuale.

Osservazione. Se la condizione di liscezza vale per una coppia di carte (\varphi, \psi), allora vale per ogni coppia di carte compatibili.

§ Definizione. Una funzione f: M \to N liscia è un diffeomorfismo se è biunivoca e la sua inversa f^{-1}: N \to M è liscia.

Esempio (Palla aperta). La palla aperta \mathbb{B}^n = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| < 1 \} è diffeomorfa a \mathbb{R}^n. Una mappa che realizza il diffeomorfismo è:

\begin{aligned}
\mathbb{B}^n &\to \mathbb{R}^n \\
x &\mapsto \frac{x}{\sqrt{1 - \|x\|^2}}
\end{aligned}

con inversa y \mapsto \frac{y}{\sqrt{1 + \|y\|^2}}.

§ Proposizione. Si hanno i seguenti diffeomorfismi:

  1. \mathbb{R}\mathbb{P}^1 \cong \mathbb{S}^1
  2. \mathbb{C}\mathbb{P}^1 \cong \mathbb{S}^2

Ad esempio, per il caso reale, la mappa f: \mathbb{R}\mathbb{P}^1 \to \mathbb{R} \cup \{\infty\} \to \mathbb{S}^1: [x_1, x_2] \mapsto \frac{x_1}{x_2} mappa il punto all’infinito (\infty) nel polo nord N della sfera. Analogamente per il caso complesso \mathbb{C}\mathbb{P}^1 \to \mathbb{C} \cup \{\infty\} \to \mathbb{S}^2.

§ Esercizio. Sia M una varietà liscia, U \subseteq M un aperto e V \subseteq \mathbb{R}^n. Una mappa \varphi: U \to V è una carta se e solo se è un diffeomorfismo tra U (con la struttura indotta) e V.

§ Esercizio. Costruire due atlanti non compatibili su \mathbb{R}: \mathcal{A} e \mathcal{A}'.

Spazio tangente

Vediamo due modi equivalenti per definire lo spazio tangente: il primo più intuitivo e legato alle curve, il secondo basato sulle derivazioni, che è quello più comunemente usato in geometria differenziale.

§ Definizione. Una curva in M è una funzione liscia \gamma: I \to M dove I \subseteq \mathbb{R} è un intervallo. Siano \gamma_1, \gamma_2: I \to M due curve tali che 0 \in I e \gamma_1(0) = \gamma_2(0) = p. Diciamo che le curve sono tangenti in p se lo sono in una carta, ovvero se esiste una carta \varphi: U(p) \to V \subseteq \mathbb{R}^n tale che:

(\varphi \circ \gamma_1)'(0) = (\varphi \circ \gamma_2)'(0)

(A meno di restringere le curve all’intorno U).

Esercizio. Dimostrare che la tangenza tra curve è una relazione di equivalenza. Inoltre, si osservi che se la condizione vale per una carta, allora vale per ogni carta del suo atlante massimale ("\exists \implies \forall").

§ Definizione (Spazio tangente 1). Lo spazio tangente a M in p è l’insieme delle classi di equivalenza delle curve passanti per p:

T_p M := \{ \gamma : I \to M \text{ liscia } \mid \gamma(0) = p \} / \sim

§ Definizione. Una derivazione v in p \in M è un operatore che assegna a ogni funzione liscia f: U(p) \to \mathbb{R} un numero v(f) \in \mathbb{R} tale che:

  1. Località: Se f e g coincidono su un intorno di p, allora v(f) = v(g).
  2. Linearità: v(\lambda f + \mu g) = \lambda v(f) + \mu v(g) per ogni f, g e \lambda, \mu \in \mathbb{R}.
  3. Regola di Leibniz: v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g).

§ Definizione (Spazio tangente 2). Lo spazio tangente in p \in M è l’insieme di tutte le derivazioni in p:

T_p M := \{ \text{derivazioni } v \text{ in } p \}

Esercizio. Dimostrare che T_p M è uno spazio vettoriale con le operazioni puntuali: (v+w)(f) := v(f) + w(f).

Caso degli aperti di \mathbb{R}^n

Sia U \subseteq \mathbb{R}^n un aperto e p \in U. Vediamo come si presentano le due definizioni:

Definizione 1: Esiste una corrispondenza biunivoca tra T_p U e \mathbb{R}^n data da:

[\gamma] \mapsto \gamma'(0)

In questo senso identifichiamo T_p U \cong \mathbb{R}^n.

Definizione 2: Per ogni vettore v \in \mathbb{R}^n, definiamo la derivazione direzionale associata v \mapsto \partial_v come:

\partial_v(f) = \frac{\partial f}{\partial v}(p) := \sum_{i=1}^n v^i \frac{\partial f}{\partial x^i}(p)

Questa mappa definisce un isomorfismo tra \mathbb{R}^n e l’insieme delle derivazioni in p.

§ Proposizione. La mappa sopra definita è suriettiva.

Dimostrazione. Sia v una derivazione in p = 0. Consideriamo una funzione f definita in un intorno di 0 e sviluppiamola con la formula di Taylor (con resto integrale):

f(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}(0) x^i + \sum_{i,j=1}^n h_{ij}(x) x^i x^j

Applichiamo la derivazione v:

v(f) = f(0)v(1) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}(0) v(x^i) + \sum_{i,j=1}^n v(h_{ij}(x) x^i x^j)

Osserviamo che v(1) = v(1 \cdot 1) = v(1) \cdot 1 + 1 \cdot v(1) = 2v(1), quindi v(1) = 0. Inoltre, per la regola di Leibniz, il termine con x^i x^j si annulla in 0. Rimane:

v(f) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}(0) v(x^i)

che è esattamente la derivata direzionale lungo il vettore (v(x^1), \dots, v(x^n)).

§ Corollario. T_p U \cong \mathbb{R}^n anche con la seconda definizione.

Equivalenza delle definizioni

Per ogni punto p \in M, esiste un’applicazione naturale tra le due definizioni di spazio tangente:

\begin{aligned}
T_p^1 M &\to T_p^2 M \\
[\gamma] &\mapsto (f \mapsto (f \circ \gamma)'(0))
\end{aligned}

Esercizio. Dimostrare che tale mappa è biunivoca.

Differenziale di una mappa

§ Definizione. Sia f: M \to N una mappa liscia e p \in M. Il differenziale di f in p è l’applicazione lineare df_p: T_p M \to T_{f(p)} N definita come:

  • Sulle curve: df_p([\gamma]) = [f \circ \gamma].
  • Sulle derivazioni: df_p(v)(g) = v(g \circ f) per ogni funzione liscia g su N.

Osservazione. Il differenziale è funtoriale:

  1. Regola della catena: d(f \circ g)_p = df_{g(p)} \circ dg_p.
  2. Identità: d(\text{id}_M)_p = \text{id}_{T_p M}.

§ Corollario. Se f: M \to N è un diffeomorfismo, allora df_p: T_p M \to T_{f(p)} N è un isomorfismo lineare.

§ Definizione. Una funzione f: M \to N è un diffeomorfismo locale in p \in M se esistono intorni U(p) \subseteq M e W(f(p)) \subseteq N tali che f(U) = W e la restrizione f|_U : U \to W è un diffeomorfismo.

§ Proposizione. Se f è un diffeomorfismo locale in p, allora df_p è invertibile.

Il differenziale in carte

Consideriamo f: M \to N e p \in M. Siano \varphi: U \to V \subseteq \mathbb{R}^m e \psi: W \to Z \subseteq \mathbb{R}^n carte tali che f(U) \subseteq W. Sia F = \psi \circ f \circ \varphi^{-1} la rappresentazione locale di f.

Osserviamo che p \in U \subseteq M, allora T_p U = T_p M. In altri termini l’inclusione i: U \hookrightarrow M induce un isomorfismo di_p: T_p U \xrightarrow{\sim} T_p M.

Il differenziale df_p può essere espresso in termini delle carte attraverso il seguente diagramma commutativo:

\begin{CD}
T_p M @>df_p>> T_{f(p)} N \\
@V d\varphi_p VV @VV d\psi_{f(p)} V \\
\mathbb{R}^m @>>dF_{\varphi(p)}> \mathbb{R}^n
\end{CD}

Dove dF_{\varphi(p)} è la matrice Jacobiana classica della funzione tra aperti di \mathbb{R}^k.

§ Proposizione. \dim T_p M = \dim M.

Velocità di una curva

§ Definizione. Sia \gamma: I \to M una curva liscia. Per ogni t \in I, il differenziale in t è una mappa d\gamma_t : \mathbb{R} \to T_{\gamma(t)} M. La velocità di \gamma al tempo t è definita come: \gamma'(t) := d\gamma_t(1)

Si osservi che T_p M è solo uno spazio vettoriale (non ha una struttura metrica o un prodotto scalare predefinito).

Diffeomorfismi locali e rivestimenti

§ Definizione. Una funzione f: M \to N tra varietà lisce è un diffeomorfismo locale se lo è in ogni punto p \in M.

§ Teorema. Sia f: M \to N una mappa liscia. Allora f è un diffeomorfismo locale in p se e solo se df_p: T_p M \to T_{f(p)} N è invertibile.

Dimostrazione. In coordinate locali la mappa f è rappresentata da una funzione F: U \to V tra aperti di \mathbb{R}^n. Il risultato segue allora direttamente dal Teorema della Funzione Inversa per aperti di \mathbb{R}^n, dato che dF_{\varphi(p)} coincide con la matrice Jacobiana.

§ Definizione. Siano M, N varietà lisce. Una mappa p: M \to N è un rivestimento liscio se è un rivestimento topologico ed è anche un diffeomorfismo locale.

Esercizio (Definizione alternativa). f è un rivestimento liscio se per ogni y \in N esiste un intorno V di y tale che f^{-1}(V) = \bigsqcup_i U_i (unione disgiunta di aperti) e le restrizioni f|_{U_i} : U_i \to V sono diffeomorfismi.

Esempi di rivestimenti lisci:

  1. \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1 definita da t \mapsto e^{it}.
  2. \mathbb{S}^n \to \mathbb{R}\mathbb{P}^n che manda x \mapsto [x]. È un rivestimento di grado 2.

Azioni di gruppi e varietà quoziente

Sia G un gruppo e M una varietà liscia.

§ Definizione. Un’azione liscia di G su M è un omomorfismo \psi: G \to \text{Diff}(M). L’azione si dice:

  • Libera se g \cdot x = x \implies g = e (l’identità).
  • Propriamente discontinua (p.d.) se per ogni x, y \in M esistono intorni U_x e U_y tali che l’insieme \{ g \in G \mid g U_x \cap U_y \neq \emptyset \} è finito.

§ Teorema. Se G agisce su M in modo liscio, libero e propriamente discontinuo, allora lo spazio delle orbite M/G è una varietà liscia e la proiezione \pi: M \to M/G è un rivestimento liscio.

Dimostrazione (Cenni). Dal punto di vista topologico, sappiamo che M/G è Hausdorff e a base numerabile (poiché M lo è e l’azione è p.d.). Definiamo la struttura liscia su M/G: se p \in M, esiste un intorno U tale che g U \cap U = \emptyset per ogni g \neq e. Allora la proiezione \pi|_U : U \to \pi(U) è un omeomorfismo. Definiamo le carte di M/G come le inverse di queste proiezioni composte con le carte di M. La liscezza delle mappe di transizione segue dalla liscezza dell’azione di G.

Esempi di varietà quoziente

  1. Il Toro n-dimensionale: \mathbb{T}^n = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n. Il gruppo \mathbb{Z}^n agisce per traslazione g(v) = v + g. L’azione è libera e p.d.

  2. Spazio Proiettivo Reale: \mathbb{R}\mathbb{P}^n = \mathbb{S}^n / G dove G = \{ \text{id}, -\text{id} \}. L’azione è libera (non ci sono punti fissi sulla sfera per l’antipodia) e G è finito, quindi l’azione è p.d.

  1. Spazi lenticolari: Siano

    \mathbb{S}^3 = \{ (z, w) \in \mathbb{C}^2 \mid |z|^2 + |w|^2 = 1 \}

    e G = \mathbb{Z}_p = \{ e^{2\pi i k / p} \}. L’azione è data da \xi \cdot (z, w) = (\xi z, \xi^q w) con \text{gcd}(p, q) = 1. Il quoziente \mathbb{S}^3 / G è una varietà liscia detta spazio lenticolare L(p, q).

  2. Bottiglia di Klein: K = \mathbb{R}^2 / G dove G è generato da f(x, y) = (x+1, y) e g(x, y) = (-x, y+1). L’azione è libera e p.d.

Orientazione

Ci sono due possibili concetti di orientazione: uno estrinseco e uno intrinseco. Di seguito analizziamo la definizione intrinseca.

Orientazione di uno spazio vettoriale

§ Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su \mathbb{R} di dimensione finita n. L’insieme delle basi di V è partizionato in due sottoinsiemi. Diciamo che due basi \mathcal{B}, \mathcal{B}' sono in relazione (\mathcal{B} \sim \mathcal{B}') se la matrice di cambio di base ha determinante positivo (\det M > 0).

Questa è una relazione di equivalenza con esattamente due classi di equivalenza. Un’orientazione per V è la scelta di una di queste due classi (fissiamo una classe come quella delle basi “positive”).

Esempi:

  • \mathbb{R}^n è orientato dalla base canonica \{e_1, \dots, e_n\}.
  • Se V, W sono orientati, un isomorfismo f: V \to W preserva l’orientazione se manda basi positive in basi positive (ovvero la sua matrice rispetto a basi positive ha determinante positivo).
  • Un diffeomorfismo tra aperti di \mathbb{R}^n, f: U \to V, preserva l’orientazione se df_p ha \det(df_p) > 0 per ogni p \in U.

Orientazione di una varietà

Esistono due definizioni equivalenti di orientazione per una varietà liscia M.

§ Definizione (Atlante orientato). Un atlante orientato \mathcal{A} = \{ \varphi_i : U_i \to V_i \} per M è un atlante tale che tutte le mappe di transizione \varphi_{ij} preservano l’orientazione di \mathbb{R}^n (ovvero \det((d\varphi_{ij})_p) > 0 per ogni p nel dominio di \varphi_{ij}).

§ Definizione (Definizione 1). Una varietà orientata è una varietà M munita di un atlante orientato. Un’orientazione è una classe di equivalenza di atlanti orientati (due atlanti la cui unione è ancora un atlante orientato danno la stessa orientazione).

§ Definizione (Definizione 2). Un’orientazione per M è una scelta di un’orientazione per ogni spazio tangente T_p M che varia in modo “continuo” (localmente costante) rispetto a p. Nello specifico, per ogni p \in M esiste una carta \varphi: U \to V \subseteq \mathbb{R}^n che preserva l’orientazione, ovvero tale che per ogni q \in U, d\varphi_q : T_q U \to T_{\varphi(q)} V = \mathbb{R}^n mandi basi positive di T_q U in basi positive di \mathbb{R}^n.

Osservazione. Se M è connessa e orientabile, essa ammette esattamente due orientazioni. Data un’orientazione \mathcal{O}, l’orientazione opposta -\mathcal{O} è quella ottenuta invertendo la scelta delle basi positive in ogni spazio tangente.

§ Definizione.

  • Una varietà M è orientata se è munita di una specifica scelta di orientazione.
  • Una varietà M è orientabile se ammette almeno un’orientazione.

Esempi e proprietà

Osservazione. Una mappa f: V \to V inversione rispetto ad un iperpiano, ad esempio f: \mathbb{S}^n \to \mathbb{S}^n data da una riflessione ortogonale rispetto ad un iperpiano, inverte l’orientazione (manda basi positive in basi negative).

  1. Aperti di \mathbb{R}^n: Sono sempre orientabili (ereditano l’orientazione standard).

  2. Superfici non orientabili: Il nastro di Möbius non è orientabile.

  3. Sfera \mathbb{S}^n: La sfera è sempre orientabile. Un atlante orientato può essere costruito a partire dalle due proiezioni stereografiche \mathcal{A} = \{ \varphi_N, \varphi_S \}. Se \det(d(\varphi_S \circ \varphi_N^{-1})) < 0, allora si può considerare un nuovo atlante \mathcal{A}' = \{ \varphi_N, r \circ \varphi_S \} dove r è una riflessione su \mathbb{R}^n, in questo modo il determinante del cambio di coordinate diventa positivo.

  4. Spazi proiettivi: \mathbb{R}\mathbb{P}^n è orientabile se e solo se n è dispari.

Orientazione e quozienti

Sia G un gruppo che agisce in modo liscio, libero e propriamente discontinuo su una varietà orientata M.

§ Teorema. Lo spazio delle orbite M/G è orientabile se e solo se per ogni g \in G, la mappa x \mapsto g \cdot x preserva l’orientazione di M.

Dimostrazione (Cenni). Se ogni g \in G preserva l’orientazione, allora per ogni punto q = \pi(p) \in M/G possiamo scegliere un’orientazione su T_q(M/G) identificandolo con T_p M. Poiché ogni g preserva l’orientazione, questa scelta non dipende dal particolare rappresentante p nell’orbita. Viceversa, se M/G è orientata, allora la proiezione \pi: M \to M/G (che è un rivestimento locale) induce un’orientazione su M tale che ogni g (che è un sollevamento dell’identità) deve preservare tale orientazione.

§ Corollario.

  1. Il Toro \mathbb{T}^n è orientabile (le traslazioni preservano sempre l’orientazione di \mathbb{R}^n).
  2. Lo Spazio Proiettivo \mathbb{R}\mathbb{P}^n è orientabile se e solo se n è dispari. Infatti l’azione è data dall’antipodia x \mapsto -x, che preserva l’orientazione della sfera \mathbb{S}^n se e solo se n+1 è pari (ovvero n dispari).
  3. La Bottiglia di Klein non è orientabile (il generatore g dell’azione su \mathbb{R}^2 contiene una riflessione che inverte l’orientazione).
  4. Il Nastro di Möbius non è orientabile (può essere visto come un quoziente di \mathbb{R} \times (-1, 1) che inverte l’orientazione).

§ Teorema. Ogni varietà M connessa non orientabile ammette un rivestimento doppio \tilde{M} \to M tale che \tilde{M} è orientabile.

§ Corollario. Se M è semplicemente connessa (\pi_1(M) = 0), allora M è orientabile. Più in generale, se \pi_1(M) non ha sottogruppi di indice 2, allora M è orientabile.

Osservazione. Gli spazi proiettivi complessi \mathbb{C}\mathbb{P}^n sono sempre orientabili per ogni n \in \mathbb{N}.

Sottovarietà

Esempio. Sia f: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{n-k} una funzione liscia. Il grafico di f è il sottoinsieme:

S = \{ (x, f(x)) \in \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^{n-k} \mid x \in \mathbb{R}^k \}

Consideriamo il diffeomorfismo \varphi: \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^{n-k} \to \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^{n-k} definito da:

(x, y) \mapsto (x, y - f(x))

Sotto questa mappa, l’immagine di S è \mathbb{R}^k \times \{0\}, che mostra come S sia localmente (in questo caso globalmente) una sottovarietà.

§ Corollario. Ogni S \subseteq \mathbb{R}^n che è localmente un grafico è una sottovarietà.

Esempi: La sfera \mathbb{S}^2 \subseteq \mathbb{R}^3, il toro \mathbb{T}^2 \subseteq \mathbb{R}^3 e i grafici di funzioni lisce sono tutti esempi di sottovarietà.

Se N \subseteq M è una sottovarietà, allora per ogni p \in N lo spazio tangente T_p N è un sottospazio vettoriale di T_p M. L’inclusione i: N \hookrightarrow M induce un’immersione dei relativi spazi tangenti di_p : T_p N \hookrightarrow T_p M.

Esempio: Se N \subseteq \mathbb{R}^n, allora T_p N \subseteq T_p \mathbb{R}^n = \mathbb{R}^n. In particolare per la sfera: T_x \mathbb{S}^n = x^\perp = \{ y \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \langle x, y \rangle = 0 \}.

Immersioni e somersioni

§ Definizione. Una mappa liscia f: M \to N è:

  • Una immersione in p \in M se df_p è iniettivo.
  • Una somersione in p \in M se df_p è suriettivo.

Diciamo che f è un’immersione (risp. somersione) se lo è in ogni punto p \in M.

§ Teorema (Forma locale). Sia f: M \to N una mappa liscia tra varietà di dimensione m e n rispettivamente:

  • Se f è un’immersione in p, esistono carte \varphi su M e \psi su N tali che la rappresentazione locale F = \psi \circ f \circ \varphi^{-1} sia la proiezione canonica: F(x_1, \dots, x_m) = (x_1, \dots, x_m, 0, \dots, 0) (con m \le n).
  • Se f è una somersione in p, esistono carte tali che: F(x_1, \dots, x_m) = (x_1, \dots, x_n) (con m \ge n).

Punti e valori regolari

§ Definizione. Sia f: M \to N una mappa liscia.

  • Un punto p \in M è regolare se df_p è suriettivo (ovvero f è una somersione in p).
  • Un punto q \in N è un valore regolare se f^{-1}(q) è composto solo da punti regolari in M. Altrimenti q è detto singolare.

§ Teorema. Se q \in N è un valore regolare, allora S = f^{-1}(q) \subseteq M è una sottovarietà di dimensione m - n. Inoltre, per ogni p \in S, lo spazio tangente è: T_p S = \ker df_p

Dimostrazione. Usando la forma normale per le somersioni, localmente f^{-1}(q) è data da F^{-1}(0) = \{0\} \times \mathbb{R}^{m-n} \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^{m-n} = \mathbb{R}^m.

Esempio. Consideriamo f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} definita da f(x) = \|x\|^2. Il differenziale è df_x \neq 0 per x \neq 0 poiché \nabla f = 2x. Quindi ogni q > 0 è un valore regolare. In particolare, per q=1, f^{-1}(1) = \mathbb{S}^{n-1} è una sottovarietà e T_x \mathbb{S}^{n-1} = \ker df_x = x^\perp.

Osservazione. Dato un chiuso S \subseteq M, esiste sempre una funzione liscia f: M \to \mathbb{R} tale che f^{-1}(0) = S.

Embedding

§ Definizione. Una mappa f: M \to N è un embedding (o immersione definita o incassamento) se è un’immersione iniettiva che è un omeomorfismo con la sua immagine f(M) munita della topologia indotta.

Intuitivemente, un embedding è un’immersione “iniettiva nel modo migliore possibile”, evitando che l’immagine si “auto-intersechi” o si riavvicini a se stessa senza essere un omeomorfismo.

Esempio. Una curva in \mathbb{R}^2 che si auto-interseca in modo “indiretto” (ad esempio una curva che tende a chiudersi a “otto” ma è aperta) è un’immersione iniettiva ma non un embedding se la topologia non coincide.

§ Proposizione. Se f: M^m \hookrightarrow N^n è un embedding, allora f(M) \subseteq N è una sottovarietà di dimensione m.

Dimostrazione. Dato q \in f(M) e p = f^{-1}(q), per ogni intorno U(p) esiste un intorno V(q) in N tale che f(U) = V \cap f(M). Questo permette di costruire carte locali per f(M) che soddisfano la definizione di sottovarietà.

Esercizio. Sia f: M \to N un’immersione liscia. Se f è propria (ovvero la pre-immagine di ogni compatto K \subseteq N è compatta), allora f è un embedding.

§ Corollario. Se M è compatta, ogni immersione iniettiva f: M \to N è un embedding.

Esempio (Linea nel toro). Sia f: \mathbb{R} \to \mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2 definita come f = f_2 \circ f_1:

\begin{aligned}
f_1: \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^2, \quad t \mapsto (t, \mu t) \\
f_2: \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{T}^2, \quad (x, y) \mapsto ([x], [y])
\end{aligned}
  • f_1 è un embedding \implies df_1 è iniettivo.
  • f_2 è un diffeomorfismo locale \implies df_2 è iniettivo (invertibile). Quindi df_t è iniettivo, ovvero f è un’immersione.

Esercizio.

  1. Se \mu \notin \mathbb{Q}, allora f: \mathbb{R} \to \mathbb{T}^2 è un’immersione iniettiva con immagine densa nel toro. In questo caso f non è un embedding.
  1. Se \mu = p/q \in \mathbb{Q}, la mappa non è iniettiva: f(t) = f(t+q). La mappa induce un embedding della circonferenza \mathbb{S}^1 \cong \mathbb{R}/q\mathbb{Z} \to \mathbb{T}^2.

Partizione dell’unità

Le partizioni dell’unità sono uno strumento fondamentale per incollare oggetti definiti localmente (come funzioni o tensori) in un oggetto globale.

§ Definizione. Sia \{ U_i \}_{i \in I} un ricoprimento aperto di una varietà M. Una partizione dell’unità (liscia) subordinata al ricoprimento è una famiglia di funzioni lisce \{ \rho_i : M \to \mathbb{R} \}_{i \in I} tali che:

  1. \rho_i(x) \ge 0 per ogni x \in M.
  2. \text{supp } \rho_i \subseteq U_i. Ricordiamo che \text{supp } f = \overline{\{ x \mid f(x) \neq 0 \}}.
  3. Localmente finita: Ogni punto p \in M ha un intorno V(p) tale che solo un numero finito di \rho_i non sono identicamente nulle su V(p).
  4. \sum_{i \in I} \rho_i(p) = 1 per ogni p \in M. (La somma ha senso poiché è localmente finita).

Esempio. Consideriamo il ricoprimento di \mathbb{R} dato da U_i = (i-1, i+1) per i \in \mathbb{Z}. È possibile costruire funzioni con supporto in questi intervalli che sommano a 1.

§ Teorema. Ogni ricoprimento aperto \{ U_i \}_{i \in I} di una varietà M ammette una partizione dell’unità (liscia) subordinata ad esso.

Atlanti adeguati e Partizioni dell’unità

§ Definizione. Un atlante adeguato per M è un atlante \mathcal{A} = \{ \varphi_i : U_i \to \mathbb{R}^n \} tale che:

  • \{ U_i \}_{i \in I} è localmente finito: ogni punto p \in M ha un intorno che interseca solo un numero finito di U_i.
  • Posto B^n = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| < 1 \}, gli aperti V_i := \varphi_i^{-1}(B^n) formano ancora un ricoprimento di M.

§ Definizione. Siano \{ U_i \} e \{ V_j \} due ricoprimenti aperti di M. Diciamo che \{ V_j \} è un raffinamento del primo se per ogni j esiste un i tale che V_j \subseteq U_i.

§ Proposizione. Dato un ricoprimento aperto \{ W_j \} di M, esiste un atlante adeguato \mathcal{A} = \{ \varphi_i : U_i \to \mathbb{R}^n \} tale che \{ U_i \} raffina \{ W_j \}.

(L’esistenza segue dalla paraccompattezza delle varietà).

Funzioni a campana

Esempio. Esiste una funzione \psi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} liscia tale che:

\psi(x) = \begin{cases}
1 & \text{se } \|x\| \le 1 \\
0 & \text{se } \|x\| \ge 2
\end{cases}

con \psi(x) \in (0, 1) per 1 < \|x\| < 2.

Osservazione. Tali funzioni, pur essendo lisce (C^\infty), non sono analitiche (C^\omega). In particolare, il fatto che siano costanti su un aperto ma non ovunque impedisce l’analiticità.

§ Teorema. Sia \{ U_i \} un ricoprimento aperto di M. Allora esiste una partizione dell’unità subordinata ad esso.

Dimostrazione. Sia \mathcal{A} = \{ \varphi_j : W_j \to \mathbb{R}^n \} un atlante adeguato che raffina \{ U_i \}. Definiamo per ogni j:

\rho_j : M \to \mathbb{R}, \quad \rho_j(x) = \begin{cases} \psi(\varphi_j(x)) & \text{se } x \in W_j \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}

Poiché \psi è nulla fuori da B(0, 2), la funzione \rho_j è liscia su M e il suo supporto è contenuto in W_j (e quindi in qualche U_i). Poniamo:

f_j(x) = \frac{\rho_j(x)}{\sum_k \rho_k(x)}

La somma al denominatore è ben definita (per la locale finitezza) e mai nulla (per la proprietà di atlante adeguato). La famiglia \{ f_j \} è la partizione dell’unità cercata e soddisfa per costruzione:

  1. Locale finitezza: Ereditata dall’atlante adeguato.

  2. Sommabilità a 1: Posto \rho(p) := \sum_j \rho_j(p), definiamo f_j(p) := \rho_j(p)/\rho(p). Allora per costruzione \sum_j f_j(p) = 1. Si può mostrare che \rho(p) \ge 1 poiché gli aperti V_j = \varphi_j^{-1}(B^n) ricoprono M e su di essi \psi \circ \varphi_j = 1.

Data \{ f_j \} subordinata a \{ W_j \}_{j \in J}, e dato che \{ W_j \} raffina \{ U_i \}_{i \in I}, possiamo scegliere una mappa \alpha : J \to I tale che W_j \subseteq U_{\alpha(j)}. Definiamo allora:

\bar{f}_i(p) = \sum_{j : \alpha(j) = i} f_j(p)

La famiglia \{ \bar{f}_i \}_{i \in I} è una partizione dell’unità subordinata al ricoprimento originale \{ U_i \}.