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Definizione 1.1.1. Un insieme \mathcal{F} di parti di un dato insieme \Omega (ovvero \mathcal{F} è un sottoinsieme dell’insieme delle parti \mathcal{P}(\Omega) di \Omega) è una \sigma-algebra se

• \Omega \in \mathcal{F}

• se A \in \mathcal{F}, allora il complementare A^\complement \in \mathcal{F}

• se (A_n)_{n \ge 1} \subset \mathcal{F}, allora \bigcup_n A_n \in \mathcal{F}

Definizione 1.1.4. Un insieme \mathcal{I} \subset \mathcal{P}(\Omega) è un \pi-sistema se \Omega \in \mathcal{I}[^1] e se \mathcal{I} è chiuso per intersezioni finite: se A, B \in \mathcal{I}, allora A \cap B \in \mathcal{I}.

Definizione 1.1.5. Un insieme \mathcal{M} \subset \mathcal{P}(\Omega) è una classe di Dynkin se

• \Omega \in \mathcal{M}

• se A, B \in \mathcal{M} e A \subset B, allora B \setminus A \in \mathcal{M} (chiusura per differenze crescenti di insiemi)

• se (A_n)_{n \ge 1} \subset \mathcal{M}, e se A_n \subset A_{n+1} per ogni n, allora \bigcup_n A_n \in \mathcal{M} (chiusura per unioni numerabili crescenti)

Definizione. Dato un insieme \Omega, e

, si definisce la classe di Dynkin generata da un insieme \mathcal{I} \subset \mathcal{P}(\Omega) come l’intersezione di tutte le classi di Dynkin che contengono \mathcal{I}.

Inoltre una \sigma-algebra è una classe di Dynkin, ma in generale il viceversa non è vero (vedi Esempio 1.1.8).

Teorema 1.1.6 (Lemma di Dynkin). Sia \mathcal{I} \subset \mathcal{P}(\Omega) un \pi-sistema. Allora la classe di Dynkin \mathcal{M} generata da \mathcal{I} è una \sigma-algebra.

Corollario 1.1.7. Nel contesto del Teorema 1.1.6, la classe di Dynkin generata da \mathcal{I} è uguale a \sigma(\mathcal{I}), la più piccola \sigma-algebra generata da \mathcal{I}.

Lemma 1.1.9. Dati uno spazio misurabile (\Omega, \mathcal{F}) e \mathcal{M} \subset \mathcal{F}, l’insieme \mathcal{M} è una classe di Dynkin se e solo se

• \varnothing \in \mathcal{M}

• se A \in \mathcal{M}, allora A^\complement \in \mathcal{M}

• se (A_n)_{n \ge 0} \subset \mathcal{M} sono a due a due disgiunti, allora \bigcup_n A_n \in \mathcal{M}.

Definizione 1.1.10. Dato uno spazio misurabile (\Omega, \mathcal{F}), una misura è una funzione \mu : \mathcal{F} \to [0, \infty] tale che,

• \mu(A) \ge 0 per ogni A \in \mathcal{F}

• (\sigma-additività) per ogni famiglia numerabile (A_n)_{n \ge 0} di elementi di \mathcal{F} a due a due disgiunti (A_i \cap A_j = \varnothing per ogni i \neq j),

  \mu\left(\bigcup_{n \ge 0} A_n\right) = \sum_{n=0}^\infty \mu(A_n).

Una misura \mu si dice

• \sigma-finita se \Omega è unione numerabile di insiemi (di \mathcal{F}) di misura finita,

• finita se \mu(\Omega) < \infty,

• probabilità se \mu(\Omega) = 1.

Corollario 1.1.11. Dato uno spazio di misura (\Omega, \mathcal{F}), sia \mathcal{I} un \pi-sistema che genera \mathcal{F}. Se \mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2 sono due probabilità su (\Omega, \mathcal{F}) tali che \mathbb{P}_1[A] = \mathbb{P}_2[A] per ogni A \in \mathcal{I}, allora \mathbb{P}_1 = \mathbb{P}_2.

Corollario 1.1.12. Se C \in \mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2, allora per ogni x \in E_1 la sezione C_x = \{y \in E_2 : (x, y) \in C\} è un elemento di \mathcal{E}_2. Analogo risultato vale per la sezione C_y \in \mathcal{E}_1.

Definizione 1.1.13. Dato un insieme \Omega, un insieme \mathcal{M} \subset \mathcal{P}(\Omega) è una classe monotona se

• se (A_n)_{n \ge 0} \subset \mathcal{M} è una famiglia numerabile crescente per inclusione, allora \bigcup_n A_n \in \mathcal{M}

• se (A_n)_{n \ge 0} \subset \mathcal{M} è una famiglia numerabile decrescente per inclusione, allora \bigcap_n A_n \in \mathcal{M}

Teorema 1.1.15 (Classe monotona). Se \mathcal{A} è una algebra su un insieme \Omega, allora la classe monotona generata da \mathcal{A} è una \sigma-algebra (infatti la \sigma-algebra generata da \mathcal{A}).

Proposizione 1.1.16. Se f : \Omega \to \mathbb{R} è misurabile positiva, allora esiste una successione (f_n)_{n \ge 1} di funzioni semplici positive tali che f_n \uparrow f. La convergenza è uniforme se f è limitata.

Teorema 1.1.17 (versione funzionale del teorema della classe monotona). Dato uno spazio di misura (\Omega, \mathcal{F}), sia \mathcal{I} un \pi-sistema che genera \mathcal{F}. Sia poi \mathcal{H} un insieme di funzioni misurabili reali su (\Omega, \mathcal{F}) tali che

• \bbone_A \in \mathcal{H} per ogni A \in \mathcal{I}

• \mathcal{H} è uno spazio vettoriale

• se (f_n)_{n \ge 1} \subset \mathcal{H}, con f_n \ge 0 per ogni n, e se f_n \uparrow f per una funzione (reale, misurabile, positiva) limitata f, allora f \in \mathcal{H}

Allora \mathcal{H} contiene tutte le funzioni misurabili reali limitate su (\Omega, \mathcal{F}).

Teorema 1.2.1 (Teorema di Caratheodory). Sia \mathbb{P} una funzione \sigma-additiva definita su un’algebra \mathcal{A} di parti di un insieme \Omega tale che \mathbb{P}(\Omega) = 1 : \mathbb{P} si prolunga (in un sol modo) alla \sigma-algebra \mathcal{F} generata da \mathcal{A}.

Lemma 1.2.2. Siano (A_n)_{n \ge 1} e (A'_n)_{n \ge 1} due famiglie crescenti di elementi di \mathcal{A} e supponiamo che si abbia \bigcup_{n \ge 1} A_n \subseteq \bigcup_{n \ge 1} A'_n : allora vale la disuguaglianza

\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) \le \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A'_n)

Lemma 1.2.3. La funzione \mathbb{P} definita su \mathcal{B} gode delle seguenti proprietà:

• se B_n \uparrow B, \mathbb{P}(B_n) \uparrow \mathbb{P}(B);

• se B_1, B_2 sono elementi di \mathcal{B}, anche (B_1 \cup B_2) e (B_1 \cap B_2) sono elementi di \mathcal{B} e vale l’eguaglianza

  \mathbb{P}(B_1 \cup B_2) + \mathbb{P}(B_1 \cap B_2) = \mathbb{P}(B_1) + \mathbb{P}(B_2).

In particolare \mathbb{P} definita su \mathcal{B} è \sigma-additiva.

Proposizione 1.2.4. La funzione d’insieme \mathbb{P}^* gode delle seguenti proprietà:

1. per ogni C, si ha 0 \le \mathbb{P}^*(C) \le 1

2. se C_1 \subseteq C_2, allora \mathbb{P}^*(C_1) \le \mathbb{P}^*(C_2)

3. se C_n \uparrow C, allora \mathbb{P}^*(C_n) \uparrow \mathbb{P}^*(C)

4. \mathbb{P}^*(C_1 \cup C_2) + \mathbb{P}^*(C_1 \cap C_2) \le \mathbb{P}^*(C_1) + \mathbb{P}^*(C_2)

Teorema 1.2.5. L’insieme \mathcal{C} è una \sigma-algebra, inoltre \mathbb{P}^* ristretta a \mathcal{C} è \sigma-additiva.

Definizione 1.2.8 Dati due spazi misurabili (\Omega_1, \mathcal{F}_1), (\Omega_2, \mathcal{F}_2), un nucleo di probabilità da \Omega_1 a \Omega_2 è una funzione k : \Omega_1 \times \mathcal{F}_2 \to [0, \infty) tale che

• per ogni B \in \mathcal{F}_2, x \mapsto k(x, B) è \mathcal{F}_1 misurabile

• per ogni x \in \Omega_1, k(x, \cdot) è una probabilità su (\Omega_2, \mathcal{F}_2)

Definizione 1.2.9 Dati gli spazi misurabili (\Omega_1, \mathcal{F}_1), (\Omega_2, \mathcal{F}_2), (\Omega_3, \mathcal{F}_3), un nucleo k_1 da \Omega_1 a \Omega_2 e un nucleo k_2 da \Omega_1 \times \Omega_2 a \Omega_3, il nucleo k_1 \otimes k_2, da \Omega_1 a \Omega_2 \times \Omega_3 è definito come

k_1 \otimes k_2(x, B) = \int \left( \int \bbone_B(y, z) k_2((x, y), dz) \right) k_1(x, dy).

Teorema 1.2.10 (Ionescu-Tulcea). Siano dati una famiglia (\Omega_n, \mathcal{F}_n)_{n \ge 0} di spazi misurabili, una probabilità k_0 su \Omega_0, e per ogni n \ge 1 un nucleo k_n da \prod_{i=0}^{n-1} \Omega_i a \Omega_n. Allora esiste una probabilità \mathbb{P} su \prod_{n=0}^\infty \Omega_n tale che per ogni n la misura immagine di \mathbb{P} rispetto alla proiezione su \prod_{i=0}^n \Omega_n è \bigotimes_{i=0}^n k_i.

Teorema 1.3.1. Un sottoinsieme A \subseteq \Omega appartiene a \mathcal{F}^\mathbb{P} se e solo se esistono B, C \in \mathcal{F} tali che B \subseteq A \subseteq C e \mathbb{P}(C \setminus B) = 0. Inoltre \mathbb{P} si estende in uno ed in un sol modo ad una probabilità su \mathcal{F}^\mathbb{P} ponendo, per A, B, C come sopra \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(C).

Definizione 1.4.1 Se X : \Omega \to E è una variabile aleatoria, la \sigma-algebra generata da X, denotata come \sigma(X), è definita come la più piccola \sigma-algebra (su \Omega) per cui X è misurabile.

Lemma 1.4.2 (Doob). Sullo spazio (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) siano date una variabile aleatoria X a valori in (E, \mathcal{E}) e una variabile aleatoria reale Y che sia \sigma(X)-misurabile[^2]. Allora esiste una funzione misurabile g : E \to \mathbb{R} tale che Y = g(X).

Lemma 1.4.3. Sia X_n una successione di variabile aleatoria semplici a valori positivi, supponiamo che X_n converga crescendo verso X e supponiamo che anche X sia semplice: allora \mathbb{E}[X_n] \uparrow \mathbb{E}[X].

Lemma 1.4.4. Siano (X_n)_{n \ge 1} e (X'_n)_{n \ge 1} due successioni crescenti di variabile aleatoria semplici a valori positivi e supponiamo che si abbia \lim_n X_n \le \lim_n X'_n, allora

\lim_n \mathbb{E}[X_n] \le \lim_n \mathbb{E}[X'_n].

Definizione 1.4.5. Definiamo, per una variabile aleatoria X a valori positivi,

\mathbb{E}[X] = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n],

dove (X_n)_{n \ge 1} è una successione di variabile aleatoria semplici tale che X_n \uparrow X. Il Lemma 1.4.4 garantisce che questo numero non dipende dalla particolare successione approssimante scelta, inoltre in questa definizione si può supporre che la variabile aleatoria X sia a valori in [0, +\infty].

Proposizione 1.4.6. Se X, Y sono variabili aleatorie a valori positivi,

• se a \ge 0, allora \mathbb{E}[aX + Y] = a\mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y],

• se X \ge 0, allora \mathbb{E}[X] = 0 se e solo se X = 0 q. c.,

• se X e Y sono a valori reali (q. c.), l’eguaglianza \mathbb{E}[X \bbone_A] = \mathbb{E}[Y \bbone_A] per ogni A \in \mathcal{F} vale se e solo se X = Y q. c..

Lemma 1.4.7 (Convergenza Monotona, o Beppo-Levi). Siano (X_n)_{n \ge 1} variabili aleatorie a valori positivi tali che X_n \uparrow X. Allora

\mathbb{E}[X_n] \uparrow \mathbb{E}[X].

Lemma 1.4.8 (Fatou). Sia (X_n)_{n \ge 1} una successione di variabili aleatorie a valori positivi, allora vale la disuguaglianza,

\mathbb{E}[\liminf_{n \to \infty} X_n] \le \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n].

Definizione 1.4.9. La variabile aleatoria X è detta integrabile se

\mathbb{E}[|X|] = \mathbb{E}[X^+] + \mathbb{E}[X^-] < +\infty,

e si chiama integrale di X il numero, denotato con \mathbb{E}[X],

\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[X^+] - \mathbb{E}[X^-].

Tale numero è chiamato valore atteso o speranza matematica della variabile aleatoria X.

Lemma 1.4.10. Il valore atteso è omogeneo e lineare sulle variabili integrabili

Teorema 1.4.11 (di convergenza dominata o di Lebesgue). Sia (X_n)_{n \ge 1} una successione di variabile aleatoria. e supponiamo che la successione (X_n)_{n \ge 1} converga puntualmente ad X e che esista una variabile aleatoria integrabile Y tale che si abbia |X_n| \le Y : allora

\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X]

Definizione 1.4.12 (legge). Data una variabile aleatoria X su uno spazio misurabile (\Omega, \mathcal{F}), a valori in (E, \mathcal{E}), la legge di X, denotata con \mathbb{P}_X, è la probabilità su (E, \mathcal{E}) definita da

\mathbb{P}_X[A] = \mathbb{P}[X \in A], \qquad A \in \mathcal{E}.

Proposizione 1.4.13. Siano date una variabile aleatoria X su uno spazio misurabile (\Omega, \mathcal{F}), a valori in (E, \mathcal{E}), ed una funzione misurabile \varphi : E \to \mathbb{R}. Si ha che \varphi(X) è integrabile se e solo se \varphi è integrabile rispetto a \mathbb{P}_X. Inoltre, in tal caso,

\mathbb{E}[\varphi(X)] = \int \varphi(x) \, \mathbb{P}_X(dx).

Proposizione 1.4.14 (Disuguaglianza di Jensen). Sia \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione convessa e supponiamo che X e \varphi(X) siano integrabili: allora

\varphi(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[\varphi(X)].

Corollario 1.4.15. Se 1 \le p < q < +\infty e se \mathbb{E}[|X|^q] < +\infty, allora anche \mathbb{E}[|X|^p] < +\infty.

Lemma 1.4.16 (Disuguaglianza di Young). Se 1 < p, q < \infty con \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, e se X \in \mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), Y \in \mathcal{L}^q(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), allora XY \in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) e

|\mathbb{E}[XY]| \le \frac{1}{p} \mathbb{E}[|X|^p] + \frac{1}{q} \mathbb{E}[|Y|^q]

Proposizione 1.4.17 (Disuguaglianza di Hölder). Se 1 \le p, q \le \infty con \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 (oppure p=1, q=\infty o viceversa), e se X \in \mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), Y \in \mathcal{L}^q(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), allora XY \in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) e

|\mathbb{E}[XY]| \le \|X\|_p \|Y\|_q

Definizione 2.1.1. La \sigma-algebra prodotto su E, denotata con \bigotimes_{i \in I} \mathcal{E}_i, è la più piccola \sigma-algebra che rende misurabili le proiezioni \pi_i per ogni i \in I. Equivalentemente, la \sigma-algebra prodotto è la \sigma-algebra generata dagli insiemi della forma \pi_i^{-1}(A_i), al variare di i \in I e di A_i \in \mathcal{E}_i.

Definizione 2.1.2 Un rettangolo è un insieme del tipo

\pi_{i_1}^{-1}(A_1) \cap \dots \cap \pi_{i_k}^{-1}(A_k) = \pi_{\{i_1, i_2, \dots, i_k\}}^{-1}(A_{i_1} \times A_{i_2} \times \dots \times A_{i_k}),

per k \ge 1, i_1, i_2, \dots, i_k \in I e A_{i_h} \in \mathcal{E}_{i_h} per ogni h=1,2,\dots,k.

Definizione 2.1.3 Un cilindro è un insieme del tipo \pi_J^{-1}(A), con J \subset I un insieme finito, e A \in \bigotimes_{j \in J} \mathcal{E}_j.

Definizione 2.2.1. Le \sigma-algebre \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2 \subset \mathcal{F} si dicono indipendenti se per ogni A_1 \in \mathcal{F}_1 e A_2 \in \mathcal{F}_2, gli eventi A_1, A_2 sono indipendenti. Più in generale, le \sigma-algebre (\mathcal{F}_i)_{i \in I}, con \mathcal{F}_i \subset \mathcal{F} per ogni i \in I, sono indipendenti se per ogni J \subset I finito e per ogni A_i \in \mathcal{F}_i e i \in J,

\mathbb{P}\left[\bigcap_{i \in J} A_i\right] = \prod_{i \in J} \mathbb{P}[A_i].

Proposizione 2.2.2. Siano X_1, X_2 due variabili aleatorie a valori rispettivamente in (E_1, \mathcal{E}_1) e (E_2, \mathcal{E}_2) e sia, per ogni i, \mathcal{D}_i un \pi-sistema che genera \mathcal{E}_i. Le variabili aleatorie X_1 e X_2 sono indipendenti se e solo se

\mathbb{P}[X_1 \in B_1, X_2 \in B_2] = \mathbb{P}[X_1 \in B_1] \mathbb{P}[X_2 \in B_2]

per ogni B_1 \in \mathcal{D}_1, B_2 \in \mathcal{D}_2.

Teorema 2.2.3 Sia (X_i)_{i \in I} una famiglia di variabili aleatorie. Sono allora equivalenti:

• le variabili aleatorie (X_i)_{i \in I} sono indipendenti,

• per ogni k \geq 2 e per ogni j_1, \ldots, j_k \subset I disgiunti, le variabili X_{j_1}, \ldots, X_{j_k} sono indipendenti.

Proposizione 2.3.1. Sia f: E \times F \to \mathbb{R} misurabile positiva. Allora:

• per ogni x \in E la funzione y \mapsto f(x, y) è \mathcal{F}-misurabile
• la funzione x \mapsto \int_F f(x, y) \mathbb{Q}(dy) è \mathcal{E}-misurabile.

Inoltre la prima proprietà si estende anche a funzioni misurabili (senza il vincoli sul segno), e la seconda a funzioni integrabili.

Definizione. Si ricorda che, se C \subset E \times F, si chiama sezione (nel punto x \in E) l’insieme

C_x \coloneqq \{y \in F : (x,y) \in C\}

Teorema 2.3.2 (Fubini-Tonelli). Dato C \in \mathcal{E} \otimes \mathcal{F}, si ponga

\mathbb{P} \otimes \mathbb{Q}(C) = \int_E \mathbb{Q}(C_x) \mathbb{P}(\mathrm d x)

La funzione d’insieme \mathbb{P} \otimes \mathbb{Q} è una probabilità, ed è l’unica probabilità su \mathcal{E} \otimes \mathcal{F} tale che \mathbb{P} \otimes \mathbb{Q}(A \times B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{Q}(B) per ogni A \in \mathcal{E}, B \in \mathcal{F}. Inoltre per ogni funzione f misurabile positiva su E \times F, vale la formula

\iint_{E \times F} f(x,y) \mathbb{P} \otimes \mathbb{Q}(\mathrm d x, \mathrm d y) = \int_E \left(\int_F f(x,y) \mathbb{Q}(\mathrm d y)\right) \mathbb{P}(\mathrm d x).

Teorema 2.3.7 (estensione ad un prodotto arbitrario). Dati gli spazi di probabilità (\Omega_i, \mathcal{F}_i, \mathbb{P}_i), si consideri lo spazio prodotto \Omega = \prod_{i \in I} \Omega_i munito della \sigma-algebra prodotto \mathcal{F} = \bigotimes_{i \in I} \mathcal{F}_i. Allora esiste una unica probabilità \mathbb{P} su (\Omega, \mathcal{F}) tale che per ogni I \subset J finito, ed ogni A_i \in \mathcal{F}_i, j \in J,

\mathbb{P}\Big[\bigcap_{j \in J} \pi_j^{-1}(A_j)\Big] = \prod_{j \in J} \mathbb{P}_j[A_j].

Teorema 2.3.8. Nel contesto illustrato precedentemente, esiste sullo spazio prodotto \prod_{i \in I} E_i munito della \sigma-algebra prodotto \bigotimes_{i \in I} \mathcal{E}_i una unica probabilità \mu, indicata con \bigotimes_{i \in I} \mu_i, tale che per ogni rettangolo \pi_{j_1}^{-1}(A_1) \cap \cdots \cap \pi_{j_k}^{-1}(A_k),

\mu\left(\pi_{j_1}^{-1}(A_1) \cap \cdots \cap \pi_{j_k}^{-1}(A_k)\right) = \prod_{i=1}^{k} \mu_{j_i}(A_i)

Definizione 2.3.9 (nucleo di probabilità). Dati due spazi misurabili (E_1, \mathcal{E}_1) e (E_2, \mathcal{E}_2), un nucleo di probabilità da E_1 a E_2 è una funzione k : E_1 \times \mathcal{E}_2 \to [0,1] tale che

• per ogni A \in \mathcal{E}_2, la funzione x \mapsto k(x, A) è \mathcal{E}_1-misurabile,

• per ogni x \in E_1, k(x, \cdot) è una probabilità su (E_2, \mathcal{E}_2).

Definizione 2.3.11 (composizione di nuclei). Dati tre spazi misurabili (E_i, \mathcal{E}_i), i = 1, 2, 3, un nucleo k_1 da E_1 a E_2, e un nucleo k_2 da E_1 \times E_2 a E_3, si definisce la composizione k_1 \otimes k_2 come il nucleo da E_1 a E_2 \times E_3 definito da

k_1 \otimes k_2(x, A) = \int_{E_2} \left(\int_{E_3} \mathbb{1}_A(y, z) k_2(x, y, \mathrm d z)\right) k_1(x, \mathrm d y),

per ogni x \in E_1 e ogni A \in \mathcal{E}_2 \otimes \mathcal{E}_3.

Teorema 2.3.12 (Ionescu-Tulcea). Siano assegnate una successione di spazi di misura (E_n, \mathcal{E}_n)_{n \geq 0}, una misura di probabilità \mu_0 su (E_0, \mathcal{E}_0) e, per ogni n \geq 1, un nucleo k_n da \prod_{0}^{n-1} E_i a E_n, allora esiste uno spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{G}, \mathbb{P}) e una successione (X_n)_{n \geq 0} di variabili aleatorie, con X_n : \Omega \to E_n, tali che per ogni n le variabili aleatorie (X_0, X_1, \ldots, X_n) hanno legge \bigotimes_{i=0}^{n-1} k_i.

Informalmente, k_n è la legge condizionale di X_n sapendo X_0, X_1, \ldots, X_{n-1}.

Definizione. Su uno spazio (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) sia data una successione (A_n)_{n \geq 1} \subset \mathcal{F} di eventi. Si definiscono il limite superiore della successione,

\limsup_n A_n = \bigcap_{n \geq 1} \bigcup_{k \geq n} A_k = \{\omega \in \Omega : \omega \in A_n \text{ per infiniti } n\},

e il limite inferiore della successione,

\liminf_n A_n = \bigcup_{n \geq 1} \bigcap_{k \geq n} A_k = \{\omega \in \Omega : \omega \in A_n \text{ definitivamente}\}.

Lemma 2.4.1. Per una successione (A_n)_{n \geq 1} \subset \mathcal{F},

• (\limsup_n A_n)^c = \liminf_n A_n^c

• \limsup_n A_n = \{\sum_1 \mathbb{1}_{A_n} = \infty\}

• \liminf_n A_n = \{\limsup_n \mathbb{1}_{A_n}\} = \liminf_n \mathbb{1}_{A_n}

• \mathbb{P}[\liminf_n A_n] \leq \liminf_n \mathbb{P}[A_n]

• \limsup_n \mathbb{P}[A_n] \leq \mathbb{P}[\limsup_n A_n]

Definizione 2.4.2 La \sigma-algebra coda \mathcal{F}^\infty generata da una successione (X_n)_{n \geq 1} di variabili aleatorie indipendenti è definita come

\mathcal{F}^\infty = \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}^n

dove per ogni n \geq 1, \mathcal{F}^n = \sigma(X_n, X_{n+1}, \ldots).

Teorema 2.4.4 (Legge 0-1, Kolmogorov). La \sigma-algebra \mathcal{F}^\infty è banale, cioè \mathbb{P}[A] \in \{0, 1\} per ogni A \in \mathcal{F}^\infty.

Lemma 2.4.11 (Borel-Cantelli I). Sia data una successione (A_n)_{n=1}^\infty di eventi su uno spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}). Se

\sum_{n \geq 1} \mathbb{P}[A_n] < \infty,

allora \mathbb{P}[\limsup_n A_n] = 0.

Lemma 2.4.12 (Borel-Cantelli II). Data una successione (A_n)_{n \geq 1} di eventi indipendenti su uno spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), se

\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}[A_n] = \infty,

allora \mathbb{P}[\limsup_n A_n] = 1.

Proposizione 2.4.17. (Borel-Cantelli II, forma debole). Sia data una successione (A_n)_{n \ge 1} di eventi a due a due indipendenti su uno spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}). Se

\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}[A_n] = \infty,

allora \mathbb{P}[\limsup_n A_n] = 1.

Definizione 3.1.1. Definiamo la funzione caratteristica come una funzione \phi_X: \mathbb{R} \to \mathbb{C} tale che

\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]

Proposizione. Valgono le seguenti proprietà:

• Limitatezza del modulo: \phi_X(0) = 1 e \forall t. \; |\phi_X(t)| \le 1

• Linearità: \forall t. \; \phi_{aX+b}(t) = e^{ibt} \phi_X(at)

• X, Y indipendenti \Rightarrow \forall t. \; \phi_{X+Y}(t) = \phi_X(t) \phi_Y(t)

• \phi_X è uniformemente continua.

Teorema 3.2.1. Sia X una variabile aleatoria reale con momenti fino all’indice k \ge 1. Allora \phi_X è differenziabile k volte con derivate continue date da:

\phi_X^{(j)}(t) = i^j \mathbb{E}[X^j e^{itX}]

per ogni t e ogni j=1, \dots, k.

Proposizione 3.3.3. Sia X una variabile aleatoria reale. Se esistono M > 0 e r > 0 tali che \mathbb{E}[|X|^n] \le M \frac{n!}{r^n} per ogni n, allora per ogni t_0 \in \mathbb{R}:

\phi_X(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\phi_X^{(n)}(t_0)}{n!} (t-t_0)^n

e la serie converge per |t-t_0| < r.

Corollario 3.3.4. Se X, Y sono variabili aleatorie reali tali che \mathbb{E}[X^n] = \mathbb{E}[Y^n] per ogni n e per entrambe vale la maggiorazione della Proposizione 3.3.3, allora \phi_X = \phi_Y (e di conseguenza P_X = P_Y).

Lemma 3.4.1. Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo che Y abbia densità f. Allora X+Y ha densità g data da:

g(z) = \mathbb{E}[f(z-X)]

Corollario 3.4.2. Siano X, Y variabili aleatorie reali indipendenti, con Y \sim N(0,1). Sia \epsilon > 0 e sia g_\epsilon la densità di X + \sqrt{\epsilon} Y. Allora:

• g_\epsilon è continua e limitata.
• Inoltre, se anche X ha densità f continua e limitata, allora:
  • g_\epsilon(z) \le \sup_x f(x)
  • g_\epsilon(z) \to f(z) per ogni z (per \epsilon \to 0).

Teorema 3.5.1 (Plancherel). Vale la seguente uguaglianza (la trasformata di Fourier è un’isometria tra L^2 e L^2, a meno di una costante):

\int |\hat{f}(t)|^2 \mathrm d t = 2\pi \int |f(x)|^2 \mathrm d x

Se X è una variabile aleatoria con densità f continua e limitata e funzione caratteristica \phi, allora

\int |\phi(t)|^2 \mathrm d t = 2\pi \int |f(x)|^2 \mathrm d x

Teorema 3.5.2. Se X è una variabile aleatoria reale tale che la sua funzione caratteristica \phi_X è integrabile, allora X ha densità f_X continua e limitata data da:

f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int \phi_X(t) e^{-itx} \mathrm d t

Teorema 3.5.3. Se X e Y hanno la stessa funzione caratteristica, allora hanno la stessa legge.

Teorema 3.5.6. X e Y sono indipendenti \Leftrightarrow \phi_{(X,Y)}(t) = \phi_X(t_1) \phi_Y(t_2) per ogni t=(t_1, t_2).

Definizione 3.6.1. Sia X una variabile aleatoria reale. Definiamo la funzione generatrice dei momenti come la funzione \Psi_X: \mathbb{R} \to (-\infty, +\infty] tale che

\Psi_X(t) \coloneqq \mathbb{E}[e^{tX}]

Chiamiamo dominio di \Psi_X l’insieme \{t \in \mathbb{R} \mid \Psi_X(t) < +\infty\}.

Lemma 3.6.3. Se per un certo a > 0 si ha che

\tag{*}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a^n}{n!} \mathbb{E}[|X|^n] < +\infty

allora:

• Lo stesso vale per ogni s tale che |s| < a.

• \Psi_X è analitica in (-a, a) e \Psi_X(s) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{s^n}{n!} \mathbb{E}[X^n].

• \Psi_X^{(n)}(0) = \mathbb{E}[X^n].

• Se esistono M, r > 0 tali che \mathbb{E}[|X|^n] \le M \frac{n!}{r^n}, allora (*) vale per ogni a \in (0, r).

Esercizio 1.1. Sia (A_n)_{n \in \mathbb{N}} una successione di eventi su uno spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}). Mostrare che

\mathbb{P}\left[\bigcup_n A_n\right] \le \sum_n \mathbb{P}[A_n].

Esercizio 1.2.

• Mostrare che l’intersezione di \sigma-algebre è una \sigma-algebra.

• Mostrare che, se \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} per ogni n, allora \bigcup_n \mathcal{F}_n è un’algebra.

• Mostrare infine con un esempio che \bigcup_n \mathcal{F}_n non è in generale una \sigma-algebra.

Esercizio 1.4. Se \Omega = \mathbb{R}, \mathcal{A} sia la famiglia delle unioni finite di intervalli del tipo (a, b], con -\infty \le a < b \le +\infty. Mostrare che \mathcal{A} è un’algebra ma non una \sigma-algebra.

Esercizio 2.1. Siano \mathcal{I}, \mathcal{I}' due \pi-sistemi per cui A, A' sono indipendenti per ogni A \in \mathcal{I} e A' \in \mathcal{I}'. Mostrare che le \sigma-algebre \sigma(\mathcal{I}) e \sigma(\mathcal{I}') sono indipendenti.

Esercizio 2.2. Siano X e Y due variabili aleatorie di densità congiunta f rispetto alla misura di Lebesgue bidimensionale. Calcolare la densità (rispetto alla misura di Lebesgue sulla retta) della variabile aleatoria Z = X + Y.

Esercizio 2.6. Siano X_1, \dots, X_n variabili aleatorie indipendenti, con funzione di ripartizione F_{X_1}, \dots, F_{X_n}. Siano M_n = \max\{X_1, \dots, X_n\} e m_n = \min\{X_1, \dots, X_n\}, con funzioni di ripartizione rispettivamente F_{M_n}, F_{m_n}. Mostrare che

F_{M_n}(t) = \prod_{k=1}^n F_{X_k}(t), \quad 1 - F_{m_n}(t) = \prod_{k=1}^n (1 - F_{X_k}(t))

In particolare, se le variabili aleatorie X_k hanno tutte la stessa distribuzione, abbiamo

F_{M_n}(t) = F_{X_1}(t)^n, \quad 1 - F_{m_n}(t) = (1 - F_{X_1}(t))^n

Esercizio 2.9. Siano X, Y due variabili aleatorie indipendenti (positive?), entrambe non costanti. Posto Z = X \cdot Y, mostrare che le variabili aleatorie X, Y, Z non sono una famiglia di variabili aleatorie indipendenti.

Esercizio 3.3. Se X è una variabile aleatoria a valori in \mathbb{Z} e \Phi_X è la sua funzione caratteristica, mostrare che \Phi_X è periodica. Mostrare inoltre che

\mathbb{P}[X = k] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-ikt} \Phi_X(t) \mathrm d t.

(Vale anche il viceversa).

Esercizio 3.7. Determinare la funzione caratteristica di una variabile aleatoria Gaussiana di media m e varianza \sigma^2.

Esercizio 3.9. Mostrare che, se X, Y sono indipendenti con legge di Cauchy, allora X + Y ha legge di Cauchy. Concludere che se X_1, \dots, X_n hanno legge di Cauchy, allora \frac{1}{n}(X_1 + \dots + X_n) ha la stessa legge di X_1.

Esercizio 3.16. Se \Phi è una funzione caratteristica e \Phi(t) = 1 + o(t^2) vicino allo zero, allora \Phi \equiv 1.

Esercizio 3.17. Trovare una variabile aleatoria X con densità e tale che la sua funzione caratteristica \Phi_X non sia integrabile, ovvero \int |\Phi_X(t)| \mathrm d t = \infty.

Esercizio 3.20. Trovare tre variabili aleatorie X, Y, Z tali che X + Y e X + Z abbiano la stessa legge, ma Y e Z abbiano leggi differenti.

Esercizio 3.21. Mostrare che, se X, Y sono indipendenti e X + Y ha la stessa legge di X, allora Y = 0 q.c.