Speranza condizionale

Definizione e proprietà

§ Ricordiamo che: $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ , $X$ integrabile, $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}$ $\sigma$ -algebra. Una variabile aleatoria $Y$ è una speranza condizionale di $X$ data $\mathcal{E}$ se:

$Y$ è $\mathcal{E}$ -misurabile,
$Y$ è integrabile,
$\mathbb{E}[X \bbone_A] = \mathbb{E}[Y \bbone_A], \quad \forall A \in \mathcal{E}$ .

e scriveremo $Y = \mathbb{E}[X | \mathcal{E}]$ .

Vedremo esistenza e unicità di una tale $Y$ , ma intanto vediamo alcune proprietà.

Notazione: La speranza condizionale si indica con $\mathbb{E}[X | \mathcal{E}]$ . Se $\mathcal{E} = \sigma(Z)$ scriveremo $\mathbb{E}[X | Z]$ invece di $\mathbb{E}[X | \sigma(Z)]$ .

Vedremo che nelle ipotesi del teorema, la speranza condizionale esiste ed è unica a meno di uguaglianza q.c.

§ Proposizione.

$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}]] = \mathbb{E}[X]$
$\mathbb{E}[cX + Y | \mathcal{E}] = c \mathbb{E}[X | \mathcal{E}] + \mathbb{E}[Y | \mathcal{E}]$
Se $X \le Y$ q.c., allora $\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] \le \mathbb{E}[Y | \mathcal{E}]$ q.c.
Se $X$ è $\mathcal{E}$ -misurabile, allora $\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] = X$ q.c.
Se $X$ è indipendente da $\mathcal{E}$ , allora $\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] = \mathbb{E}[X]$ q.c.
Se $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{F}$ , allora $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] | \mathcal{G}] = \mathbb{E}[X | \mathcal{G}]$ q.c.
Se $X_n \uparrow X$ q.c., allora $\mathbb{E}[X_n | \mathcal{E}] \uparrow \mathbb{E}[X | \mathcal{E}]$ q.c.
Se $X, Y$ e $XY$ sono integrabili e $Y$ è $\mathcal{E}$ -misurabile, allora $\mathbb{E}[XY | \mathcal{E}] = Y \mathbb{E}[X | \mathcal{E}]$ .
Se $\varphi$ è convessa e $X, \varphi(X)$ integrabili, allora $\varphi(\mathbb{E}[X | \mathcal{E}]) \le \mathbb{E}[\varphi(X) | \mathcal{E}]$ .
Se $1 \le p < \infty$ e $X \in \mathcal{L}^p$ , allora $\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] \in \mathcal{L}^p$ e $|\mathbb{E}[X | \mathcal{E}]|^p \le \mathbb{E}[|X|^p | \mathcal{E}]$ . (per $p = \infty$ vale $\sup_\Omega \mathbb{E}[X | \mathcal{E}] \le \mathbb{E}[\sup X | \mathcal{E}]$ )

Dimostrazione.

$A = \Omega$ nella definizione.
[Linearità del valore atteso]
$\forall \varepsilon > 0, A_\varepsilon := \{ \mathbb{E}[Y | \mathcal{E}] \le \mathbb{E}[X | \mathcal{E}] - \varepsilon \}$
```
 $\bigcup_{\varepsilon > 0} A_\varepsilon = \{ \mathbb{E}[Y | \mathcal{E}] < \mathbb{E}[X | \mathcal{E}] \}$ 
```
Su $A_\varepsilon$ , $\mathbb{E}[Y - X | \mathcal{E}] \le -\varepsilon$ ; inoltre $A_\varepsilon \in \mathcal{E}$ , dunque,
```
 $0 \le \mathbb{E}[(Y - X) \bbone_{A_\varepsilon}] \stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y - X | \mathcal{E}] \bbone_{A_\varepsilon}] \le -\varepsilon \mathbb{P}[A_\varepsilon] \le 0$ 
```
$\rightarrow \mathbb{P}[A_\varepsilon] = 0 \implies \mathbb{P}[A] = 0$ .
[Misurabilità]
[Indipendenza]
$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] | \mathcal{G}]$ è $\mathcal{G}$ -misurabile e integrabile. $\forall A \in \mathcal{G}$ dobbiamo far vedere che
```
 $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{G}] \bbone_A] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] | \mathcal{G}] \bbone_A]$ 
```
- $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{G}] \bbone_A] = \mathbb{E}[X \bbone_A]$
- $\mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] | \mathcal{G}] \bbone_A] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] \bbone_A] = \mathbb{E}[X \bbone_A]$ , poiché $A \in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{E}$ .
Se $X_n \uparrow X$ , per la (3) sappiamo che $\exists Y$ t.c. $\mathbb{E}[X_n | \mathcal{E}] \uparrow Y$ . Inoltre $\forall A \in \mathcal{E}$
```
 $\mathbb{E}[X_n \bbone_A] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X_n | \mathcal{E}] \bbone_A]$ 
```
Applicando il teorema di convergenza monotona ad entrambi i membri:
```
 $\mathbb{E}[X \bbone_A] = \mathbb{E}[Y \bbone_A]$ 
```
$Y$ è integrabile, infatti se prendiamo $A = \{ Y > 0 \}$ , $\mathbb{E}[Y_+] = \mathbb{E}[Y \bbone_A] = \mathbb{E}[X \bbone_A] < +\infty$ e analogamente $\mathbb{E}[Y_-] < +\infty$ .
Usando il teorema della classe monotona mostriamo che $\forall Y$ $\mathcal{E}$ -misurabile e limitata vale $\mathbb{E}[XY | \mathcal{E}] = Y \mathbb{E}[X | \mathcal{E}]$ . Intanto prendiamo $X \ge 0$ integrabile. Sia $B \in \mathcal{E}$ e $Y = \bbone_B$ , allora $\forall A \in \mathcal{E}$ ,
```
 $\mathbb{E}[XY \bbone_A] = \mathbb{E}[X \bbone_{A \cap B}] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] \bbone_{A \cap B}] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X | \mathcal{E}] Y \bbone_A].$ 
```
Dalla (2) segue la linearità e dalla (7) segue la chiusura per limiti crescenti. Quindi $\mathbb{E}[XY | \mathcal{E}] = Y \mathbb{E}[X | \mathcal{E}]$ $\forall Y$ $\mathcal{E}$ -misurabile limitata. Non è restrittivo supporre $Y \ge 0$ , (altrimenti $Y = Y_+ - Y_-$ e tutto funziona per linearità), poi prendiamo $Y_n = Y \wedge n \uparrow Y$ e per (7) si conclude $\mathbb{E}[XY | \mathcal{E}] = Y \mathbb{E}[X | \mathcal{E}]$ . Per $X$ generica si conclude usando la decomposizione $X = X_+ - X_-$ .

$\varphi$ convessa $\implies \varphi(x) = \sup_{L \le \varphi, L \text{ affine}} L(x)$ ; inoltre il sup si può realizzare su una famiglia numerabile $(L_n)_{n \ge 1}$ con $L_n \le \varphi \rightarrow \varphi = \sup_n L_n$ .

 $\varphi(\mathbb{E}[X | \mathcal{E}]) = \sup_n L_n(\mathbb{E}[X | \mathcal{E}]) \stackrel{(2)}{=} \sup_n \mathbb{E}[L_n(X) | \mathcal{E}] \stackrel{(3)}{\le} \mathbb{E}[\sup_m L_m(X) | \mathcal{E}] = \mathbb{E}[\varphi(X) | \mathcal{E}]$

Conseguenza della (9) perché $x \mapsto |x|^p$ è convessa $\forall p \in [1, +\infty)$ .

§ Lemma. (Freezing Lemma) Siano $X$ una v.a. $\mathcal{E}$ -misurabile e $Y$ una v.a. indipendente da $\mathcal{E}$ . Sia $\phi$ una funzione misurabile tale che $\phi(X, Y)$ sia integrabile. Allora

 $\mathbb{E}[\phi(X, Y) \mid \mathcal{E}] = g(X) \text{ q.c.}$

dove $g(x) = \mathbb{E}[\phi(x, Y)]$ .

Dimostrazione. Dunque l’insieme di tutte le funzioni $\varphi$ misurabili limitate tali che $\mathbb{E}[\varphi(X, Y) \mid \mathcal{E}] = \mathbb{E}[\varphi(X, y) \mid \mathcal{E}]_{y=Y}$

contiene $\bbone_{A \times B}$
è uno spazio lineare
è chiuso per limiti crescenti grazie al teorema di convergenza monotona per speranze condizionali.

Si conclude per il teorema della classe monotona.

§ Teorema. Nelle ipotesi della definizione, la speranza condizionale esiste ed è unica a meno di uguaglianza q.c.

Dimostrazione (del teorema).

Unicità. Siano $Y_1, Y_2$ speranze di $X$ data $\mathcal{E}$ . $\forall A \in \mathcal{E}, \mathbb{E}[Y_1 \bbone_A] = \mathbb{E}[X \bbone_A] = \mathbb{E}[Y_2 \bbone_A]$ , quindi
```
 $\mathbb{E}[(Y_1 - Y_2) \bbone_A] = 0 \implies Y_1 = Y_2 \text{ q.c.}$ 
```
poiché sono entrambe $\mathcal{E}$ -misurabili, dunque si può scegliere $A = \{ Y_1 - Y_2 \ge 0 \} \in \mathcal{E}$ , da cui si ottiene che la parte positiva $(Y_1 - Y_2)_+ = 0$ q.c. e analogamente la parte negativa $(Y_1 - Y_2)_- = 0$ q.c.
Esistenza (momento secondo finito). Supponiamo intanto $\mathbb{E}[X^2] < +\infty$ . La speranza condizionale minimizza $\inf_{Y \in \mathcal{L}^2(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})} \mathbb{E}[(Y - X)^2]$ . Infatti questo inf è finito (si ottiene $\mathbb{E}[X^2] < +\infty$ per $Y=0$ ) ed è un minimo; infatti presa $Y_n$ successione in $\mathcal{L}^2(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})$ tale che $\mathbb{E}[(Y_n - X)^2] \to \inf_Y \mathbb{E}[(Y - X)^2]$ , si ha che $Y_n$ è di Cauchy, dunque, poiché $\mathcal{L}^2(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})$ è completo, $Y_n \to Y \in \mathcal{L}^2(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})$ e $\mathbb{E}[(Y - X)^2] = \inf_Y \mathbb{E}[(Y - X)^2]$ . In generale vale l’identità $(y_1 - y_2)^2 = 2(x - y_1)^2 + 2(x - y_2)^2 - 4(\frac{y_1 + y_2}{2} - x)^2$ , dunque $\forall n, m$ :
```
 $\mathbb{E}[(Y_n - Y_m)^2] = 2\mathbb{E}[(X - Y_n)^2] + 2\mathbb{E}[(X - Y_m)^2] - 4\mathbb{E}\left[\left(X - \frac{Y_n + Y_m}{2}\right)^2\right]$ 
```
segue che $\limsup_{n,m \to +\infty} \mathbb{E}[(Y_n - Y_m)^2] \le 0$ .

Sia $Y$ una variabile che realizza il minimo. Allora $\forall Z \in \mathcal{L}^2(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P}), \forall \varepsilon \in \mathbb{R}$ , vale:
```
 $\mathbb{E}[(Y - X)^2] \le \mathbb{E}[(Y + \varepsilon Z - X)^2]$ 
```
Dunque indicando con $\varepsilon \mapsto \mathbb{E}[(Y - X + \varepsilon Z)^2]$ la funzione, vale:
```
 $\frac{d}{d\varepsilon} \mathbb{E}[(Y - X + \varepsilon Z)^2] \Big|_{\varepsilon=0} = 0, \text{ cioè } \mathbb{E}[(Y - X) Z] = 0$ 
```
$\forall Z \in \mathcal{L}^2(\mathcal{E})$ . Scegliendo $Z = \bbone_A$ con $A \in \mathcal{E}$ , si ha
```
 $\mathbb{E}[Y \bbone_A] = \mathbb{E}[X \bbone_A], \quad \forall A \in \mathcal{E}.$ 
```
Esistenza (caso generale). Per completare la dimostrazione dell’esistenza per il caso generale, sia $X$ una variabile aleatoria integrabile ( $X \in \mathcal{L}^1$ ).

Sia $(X_n)_{n \ge 1}$ una successione di variabili aleatorie in $\mathcal{L}^2$ che converge a $X$ in media, ovvero tale che $\mathbb{E}[|X_n - X|] \to 0$ (si può scegliere, ad esempio, $X_n = (-n \vee X) \wedge n$ ). Si ha che la successione delle speranze condizionali $(\mathbb{E}[X_n | \mathcal{E}])_{n \ge 1}$ è di Cauchy in $\mathcal{L}^1$ . Infatti, usando la proprietà (10) con $p=1$ :
```
 $\begin{aligned} \mathbb{E}[|\mathbb{E}[X_n | \mathcal{E}] - \mathbb{E}[X_m | \mathcal{E}]|] &= \mathbb{E}[|\mathbb{E}[X_n - X_m | \mathcal{E}]|] \\ &\le \mathbb{E}[\mathbb{E}[|X_n - X_m| | \mathcal{E}]] \\ &= \mathbb{E}[|X_n - X_m|] \xrightarrow{n,m \to \infty} 0. \end{aligned}$ 
```
Poiché $\mathcal{L}^1(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})$ è uno spazio completo, esiste una variabile $Y \in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathcal{E}, \mathbb{P})$ tale che $\mathbb{E}[|\mathbb{E}[X_n | \mathcal{E}] - Y|] \to 0$ . Infine, per ogni fissato $A \in \mathcal{E}$ , vale l’uguaglianza:
```
 $\mathbb{E}[X_n \bbone_A] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X_n | \mathcal{E}] \bbone_A].$ 
```
Passando al limite per $n \to \infty$ , per la convergenza in $\mathcal{L}^1$ si ottiene:
```
 $\mathbb{E}[X \bbone_A] = \mathbb{E}[Y \bbone_A],$ 
```
che conferma che $Y$ è la speranza condizionale cercata. $\square$

Se $X = (X_1, \dots, X_d)$ è a valori in $\mathbb{R}^d$ , allora $\mathbb{E}[X \mid \mathcal{E}] = (\mathbb{E}[X_1 \mid \mathcal{E}], \dots, \mathbb{E}[X_d \mid \mathcal{E}])$ e le proprietà dimostrate si estendono al caso di variabili vettoriali.

Esempi

Esempio. $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ , $X$ integrabile, $\mathcal{E}$ generata da una partizione $(B_n)_{n \ge 1}$ , cioè: $\bigcup_{n \ge 1} B_n = \Omega$ , $(B_n)_{n \ge 1}$ a due a due disgiunti, $B_n \in \mathcal{E}, \forall n \ge 1$ .

Dunque un generico elemento di $\mathcal{E}$ è $\bigcup_{n \in J} B_n$ con $J \subseteq \mathbb{N} \setminus \{0\}$ . Se $Y$ è $\mathcal{E}$ -misurabile, $\forall c \in \mathbb{R}$ , $\{Y = c\} = \bigcup_{n \in S} B_n \implies Y$ è costante q.c. su ogni $B_n$ .

Consideriamo ora $\mathbb{E}[X \mid \mathcal{E}]$ . Fissato $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ , $\mathbb{E}[X \bbone_{B_n}] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X \mid \mathcal{E}] \bbone_{B_n}]$ , quindi su $B_n$ la speranza condizionale vale $\mathbb{E}[X \bbone_{B_n}] / \mathbb{P}[B_n] =: c_n$

 $\implies \mathbb{E}[X \mid \mathcal{E}] = \sum_{n \ge 1} c_n \bbone_{B_n}$

Esempio. Se $\mathcal{E} = \sigma(Y)$ , $Y$ v.a. discreta, allora $\mathcal{E}$ è generata dalla partizione $(\{Y = y_n\} \mid y_n \in Y(\Omega), \mathbb{P}[Y = y_n] > 0)$ . Per il teorema di Doob, $\mathbb{E}[X \mid \sigma(Y)] = g(Y)$ dove

 $g(y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mathbb{E}[X \bbone_{\{Y = y_n\}}]}{\mathbb{P}[Y = y_n]} \bbone_{\{y_n\}}(y)$

e quindi

 $\mathbb{E}[X \mid \sigma(Y)] = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mathbb{E}[X \bbone_{\{Y = y_n\}}]}{\mathbb{P}[Y = y_n]} \bbone_{\{Y = y_n\}}$

Esempio. Supponiamo che $(X, Y)$ abbia densità congiunta $f(x, y)$ . Sia $\mathcal{E} = \sigma(Y)$ , allora $\{Y \in A\} \in \mathcal{E}$ . Sappiamo che:

 $\mathbb{E}[X \bbone_{\{Y \in A\}}] = \mathbb{E}[X \bbone_A(Y)] = \iint x \bbone_A(y) f(x, y) \mathrm dx \mathrm dy$

D’altra parte, per il teorema di Doob esiste $g$ tale che $\mathbb{E}[X \mid Y] = g(Y)$ q.c., quindi:

 $\begin{aligned} \mathbb{E}[\mathbb{E}[X \mid Y] \bbone_{\{Y \in A\}}] &= \mathbb{E}[g(Y) \bbone_{\{Y \in A\}}] \\ &= \int g(y) \bbone_A(y) f_Y(y) \mathrm dy \end{aligned}$

dove $f_Y(y) = \int f(x, y) \mathrm dx$ è la densità di $Y$ . Uguagliando le due espressioni:

 $\begin{aligned} \mathbb{E}[X \bbone_A(Y)] &= \iint x \bbone_A(y) f(x, y) \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \iint x \bbone_A(y) f_Y(y) \frac{f(x, y)}{f_Y(y)} \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \int \bbone_A(y) f_Y(y) \left( \int x \frac{f(x, y)}{f_Y(y)} \mathrm dx \right) \mathrm dy \end{aligned}$

da cui segue che:

 $g(y) = \int x \frac{f(x, y)}{f_Y(y)} \mathrm dx = \int x f_{X|Y}(x \mid y) \mathrm dx$

Definiamo la densità condizionale di $X$ dato $Y=y$ come:

 $f_{X|Y}(x \mid y) = \begin{cases} \dfrac{f(x, y)}{f_Y(y)} & \text{se } f_Y(y) \neq 0 \\[1em] 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$

Idealmente $f_{X|Y}(\;\cdot \mid y)$ è la densità di $X$ dato $Y=y$ .

Note

§ Trucco. Per dimostrare che $\mathbb{E}[\;\dots \mid \mathcal{F}_n] = \mathbb{E}[\;\dots \mid X_n]$ , ci basta far vedere che $\mathbb{E}[\;\dots \mid \mathcal{F}_n] = h(X_n)$ (ovvero è una funzione di $X_n$ ).

§ Fatto. Se $(X, Y)$ ha densità congiunta $f_{X,Y}(x,y)$ e $f_Y(y) > 0$ , allora la densità, detta densità condizionale, della speranza condizionale $\mathbb{E}[X \mid Y=y]$ è data da:

 $f_{X|Y}(x \mid y) \coloneqq \begin{cases} \dfrac{f_{X,Y}(x, y)}{f_Y(y)} & \text{se } f_Y(y) \neq 0 \\[1em] 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$