Convergenza di Variabili Aleatorie

\mathbb P [ \lim_n X_n = X ] = 1

Dimostrazione. Se 1 \le p < +\infty, l’affermazione è una conseguenza immediata della diseguaglianza, valida per \varepsilon > 0,

\varepsilon^p \mathbb{P}\{|X_n - X| > \varepsilon\} \le \mathbb{E}[|X_n - X|^p]

Viceversa, nel caso p = +\infty, segue dal fatto che la convergenza in L^\infty è evidentemente più forte della convergenza q.c.

Dimostrazione. Ricordiamo che si definisce \limsup_n A_n = \{\omega \mid \omega \text{ appartiene a infiniti } A_n\}, e che vale la diseguaglianza \limsup_n \mathbb{P}(A_n) \le \mathbb{P}(\limsup_n A_n).

Dato \varepsilon > 0, l’insieme \limsup_n \{|X_n - X| > \varepsilon\} è trascurabile e pertanto

\limsup_n \mathbb{P}\{|X_n - X| > \varepsilon\} \le \mathbb{P}(\limsup_n \{|X_n - X| > \varepsilon\}) = 0

Dimostrazione. Possiamo estrarre una sottosuccessione n_1 < n_2 < \dots tale che si abbia

\mathbb{P}\{|X_{n_k} - X| > \frac{1}{k}\} \le 2^{-k}

In particolare, la serie \sum_k \mathbb{P}\{|X_{n_k} - X| > \frac{1}{k}\} è una geometrica convergente. Dunque, dal Lemma di Borel-Cantelli segue che, per quasi ogni \omega, definitivamente |X_{n_k}(\omega) - X(\omega)| \le \frac{1}{k} (e questo implica la convergenza quasi certa della sottosuccessione).

Dimostrazione. È evidente che a) implica b); per quanto riguarda il viceversa, supponiamo che la successione (X_n)_{n \ge 1} non converga ad X in probabilità. Ne segue che esistono \varepsilon > 0, \delta > 0 ed una sottosuccessione tale che si abbia per ogni k, \mathbb{P}\{|X_{n_k} - X| > \varepsilon\} > \delta. Ogni ulteriore sottosuccessione verifica quella diseguaglianza e pertanto non può convergere in probabilità né tantomeno q.c.

d(X, Y) = \mathbb{E}[|X - Y| \wedge 1]

Dimostrazione. Supponiamo che X_n \to X in probabilità. Allora |X_n - X| \to 0 in probabilità. Poiché la funzione x \mapsto x \wedge 1 è limitata e continua, per la variante del teorema di convergenza dominata (Proposizione 4.1.5 applicata a |X_n - X| \wedge 1 che è dominata dalla costante 1), si ha \mathbb{E}[|X_n - X| \wedge 1] \to 0, ovvero d(X_n, X) \to 0.

Viceversa, supponiamo che d(X_n, X) \to 0. Sia \varepsilon > 0 e, senza perdere di generalità, supponiamo \varepsilon < 1. Osserviamo che:

\{|X_n - X| \ge \varepsilon\} = \{|X_n - X| \wedge 1 \ge \varepsilon\}

Applicando la diseguaglianza di Markov alla variabile aleatoria limitata |X_n - X| \wedge 1:

\mathbb{P}\{|X_n - X| \ge \varepsilon\} = \mathbb{P}\{|X_n - X| \wedge 1 \ge \varepsilon\} \le \frac{1}{\varepsilon} \mathbb{E}[|X_n - X| \wedge 1] = \frac{1}{\varepsilon} d(X_n, X)

Poiché d(X_n, X) \to 0, segue che \mathbb{P}\{|X_n - X| \ge \varepsilon\} \to 0.

Dimostrazione. Si può determinare una sottosuccessione n_1 < n_2 < \dots tale che

\mathbb{P}\{|X_{n_{k+1}} - X_{n_k}| > 2^{-k}\} \le 2^{-k}

Per il Lemma di Borel-Cantelli, segue che per quasi ogni \omega, definitivamente |X_{n_{k+1}}(\omega) - X_{n_k}(\omega)| \le 2^{-k} e quindi esiste una variabile aleatoria X tale che X_{n_k} \to X q.c.. Occorre ora provare che tutta la successione converge a X in probabilità. Prendiamo due indici m > n_k. Dalla relazione insiemistica

\{|X_m - X| > \varepsilon\} \subseteq \{|X_m - X_{n_k}| > \frac{1}{2}\varepsilon\} \cup \{|X_{n_k} - X| > \frac{1}{2}\varepsilon\}

segue la diseguaglianza

\mathbb{P}\{|X_m - X| > \varepsilon\} \le \mathbb{P}\{|X_m - X_{n_k}| > \frac{1}{2}\varepsilon\} + \mathbb{P}\{|X_{n_k} - X| > \frac{1}{2}\varepsilon\}

È facile a questo punto concludere che, dato \delta > 0, si può determinare un intero \bar{m} = n_k (con k abbastanza grande) tale che, se m \ge \bar{m} si abbia \mathbb{P}\{|X_m - X| > \varepsilon\} \le \delta.

Dimostrazione. Se la successione (X_n)_{n \ge 1} è di Cauchy in L^p, lo è pure in probabilità e quindi esiste per il Teorema 4.1.6 una sottosuccessione ed una variabile aleatoria X tali che X_{n_k} \to X q.c.. Poiché si ha, per il Lemma di Fatou, la diseguaglianza

\int_\Omega |X|^p \, \mathrm d \mathbb{P} \le \liminf_{k \to \infty} \int_\Omega |X_{n_k}|^p \, \mathrm d \mathbb{P}

Dimostrazione. Sia \varepsilon > 0. Esiste x_\varepsilon tale che |f(x)| \le \varepsilon per ogni x \ge x_\varepsilon. Allora

\left| \frac{1}{n} \int_0^n f(x) dx \right| \le \frac{1}{n} \left| \int_0^{x_\varepsilon} f(x) dx \right| + \frac{1}{n} \int_{x_\varepsilon}^n |f(x)| dx \le \frac{1}{n} \left| \int_0^{x_\varepsilon} f(x) dx \right| + \frac{n - x_\varepsilon}{n} \varepsilon

Passando al limite per n \to \infty, si ottiene \limsup_n | \frac{1}{n} \int_0^n f(x) dx | \le \varepsilon. Per l’arbitrarietà di \varepsilon, il limite è 0.

Dimostrazione. Ci si può ridurre al caso f \ge 0 e f \le 1.

(\Rightarrow) Segue dalla definizione (prendendo f = \bbone \in C_b).

(\Leftarrow) Sia f \in C_b(\mathbb{R}) con 0 \le f \le 1. Sia \eta_k una successione di funzioni in C_c tali che \eta_k \uparrow 1 (ad esempio funzioni trapezoidali come in figura). Definiamo f_k = \eta_k f \in C_c. Allora f_k \uparrow f.

Per ogni k fissato, \int f_k \mu_n \to \int f_k \mu per n \to \infty. Poiché f_k \le f, si ha \int f_k \mu = \lim_n \int f_k \mu_n \le \liminf_n \int f \mu_n.

Per convergenza monotona, \int f \mu = \lim_k \int f_k \mu, quindi \int f \mu \le \liminf_n \int f \mu_n.

Applicando lo stesso ragionamento a \bbone - f \ge 0, si ottiene:

\mu(\mathbb{R}) - \int f \mu \le \liminf_n (\mu_n(\mathbb{R}) - \int f \mu_n) = \mu(\mathbb{R}) - \limsup_n \int f \mu_n

da cui \limsup_n \int f \mu_n \le \int f \mu. Insieme alla diseguaglianza precedente, ciò prova la tesi.

Dimostrazione. (Solo \impliedby) Supponiamo \mu_n \to \mu vagamente e \mu_n(\mathbb{R}) \le M. Sia f \in C_0 e \varepsilon > 0. Esiste g \in C_c tale che \|f - g\|_\infty \le \varepsilon. Allora:

\left| \int f \mu - \int f \mu_n \right| \le \left| \int (f - g) \mu \right| + \left| \int g \mu - \int g \mu_n \right| + \left| \int (g - f) \mu_n \right|

\le \varepsilon \mu(\mathbb{R}) + \left| \int g \mu - \int g \mu_n \right| + \varepsilon \mu_n(\mathbb{R}) \le \varepsilon (\mu(\mathbb{R}) + M) + \left| \int g \mu - \int g \mu_n \right|

Passando al limite per n \to \infty, il secondo termine scompare per convergenza vaga. Per l’arbitrarietà di \varepsilon, si ha la tesi.

Dimostrazione.

(\Rightarrow) Supponiamo \mu_n \to \mu strettamente. Sia x \in \mathbb{R} e \delta > 0. Consideriamo una funzione continua f (trapezoidale) tale che \bbone_{(-\infty, x]} \le f \le \bbone_{(-\infty, x+\delta]}. Allora:

\begin{aligned}
F_\mu(x+\delta) = \mu((-\infty, x+\delta]) &\ge \int f \mu = \lim_{n \to \infty} \int f \mu_n \\
&\ge \limsup_{n \to \infty} \mu_n((-\infty, x]) = \limsup_{n \to \infty} F_{\mu_n}(x)
\end{aligned}

Per \delta \to 0, sfruttando la continuità a destra di F_\mu, otteniamo F_\mu(x) \ge \limsup_n F_{\mu_n}(x).

Analogamente, considerando una funzione continua g tale che \bbone_{(-\infty, x-\delta]} \le g \le \bbone_{(-\infty, x]}, si ha:

\begin{aligned}
F_\mu(x-\delta) = \mu((-\infty, x-\delta]) &\le \int g \mu = \lim_{n \to \infty} \int g \mu_n \\
&\le \liminf_{n \to \infty} \mu_n((-\infty, x]) = \liminf_{n \to \infty} F_{\mu_n}(x)
\end{aligned}

Se x è un punto di continuità per F_\mu, allora F_\mu(x-\delta) \to F_\mu(x) per \delta \to 0, quindi F_\mu(x) \le \liminf_n F_{\mu_n}(x). In conclusione, F_{\mu_n}(x) \to F_\mu(x) in ogni punto di continuità.

(\Leftarrow) Supponiamo F_{\mu_n}(x) \to F_\mu(x) in un insieme denso D \subset \mathbb{R}. Sia f \in C_c(\mathbb{R}) e \varepsilon > 0. Poiché f è uniformemente continua, esiste \delta > 0 tale che |x-y| \le \delta \implies |f(x)-f(y)| \le \varepsilon. Sia \text{supp}(f) \subset [-R, R]. Scegliamo punti x_1 < x_2 < \dots < x_k in D tali che x_1 < -R, x_k > R e |x_{i+1}-x_i| \le \delta. Definiamo la funzione costante a tratti \phi(x) = \sum_{j=1}^{k-1} f(x_j) \bbone_{(x_j, x_{j+1}]}(x). Allora \|f-\phi\|_\infty \le \varepsilon. Si ha la stima:

\begin{aligned}
\left| \int f \mu - \int f \mu_n \right| &\le \left| \int (f-\phi) \mu \right| + \left| \int \phi \mu - \int \phi \mu_n \right| + \left| \int (\phi-f) \mu_n \right| \\
&\le \varepsilon \mu(\mathbb{R}) + \left| \int \phi \mu - \int \phi \mu_n \right| + \varepsilon \mu_n(\mathbb{R})
\end{aligned}

Poiché \int \phi \mu_n = \sum_{j=1}^{k-1} f(x_j) (F_{\mu_n}(x_{j+1}) - F_{\mu_n}(x_j)), per n \to \infty si ha:

\begin{aligned}
    \int \phi \mu_n
    &= \sum_{j=1}^{k-1} f(x_j) (F_{\mu_n}(x_{j+1}) - F_{\mu_n}(x_j)) \\
    &\to \sum_{j=1}^{k-1} f(x_j) (F_\mu(x_{j+1}) - F_\mu(x_j))
    = \int \phi \mu
\end{aligned}

Ricordando che \mu_n(\mathbb{R}) = 1 in quanto misure di probabilità, si ottiene:

\limsup_{n \to \infty} \left| \int f \mu - \int f \mu_n \right| \le \varepsilon (\mu(\mathbb{R}) + 1)

Quindi \limsup_{n \to \infty} | \int f \mu - \int f \mu_n | \le \varepsilon (\mu(\mathbb{R}) + 1). Per l’arbitrarietà di \varepsilon, \mu_n \to \mu vagamente.

F_{\mu_n}(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{n^2 t^2}{2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{nx} e^{-\frac{y^2}{2}} dy

F_{\mu_n}(x) \to \begin{cases} 1 & \text{se } x > 0 \\ 1/2 & \text{se } x = 0 \\ 0 & \text{se } x < 0 \end{cases}

Dimostrazione. Poiché per ogni q \in \mathbb{Q} la successione (F_{\mu_n}(q))_{n \ge 1} è limitata in [0, 1], possiamo utilizzare un argomento diagonale. Sia (q_j)_{j \in \mathbb{N}} un’enumerazione dei razionali:

• Da (F_{\mu_n}(q_0)) estraiamo una sottosuccessione convergente F_{\mu_{n,0}}(q_0).
• Da questa estraiamo una sottosuccessione F_{\mu_{n,1}} tale che converga in q_1.
• Procedendo per induzione, la sottosuccessione diagonale (F_{\mu_{n_k}})_{k \ge 1} converge in ogni q \in \mathbb{Q}.

Definiamo G(q) = \lim_{k \to \infty} F_{\mu_{n_k}}(q) per ogni q \in \mathbb{Q}. Poiché ogni F_{\mu_{n_k}} è monotona crescente, anche G lo è. Definiamo ora per ogni x \in \mathbb{R}:

F(x) = \inf_{q \in \mathbb{Q}, q > x} G(q)

Chiaramente 0 \le F \le 1. Mostriamo le proprietà di F:

1. Monotonia: Siano x \le y. Se q > y, allora q > x, quindi F(x) \le G(q). Prendendo l’estremo inferiore su q > y, si ha F(x) \le F(y).

2. Continuità a destra: Sia x_n \downarrow x. Per ogni q > x, per n abbastanza grande si ha x < x_n < q, quindi F(x_n) \le G(q). Passando al limite, \lim_n F(x_n) \le G(q). Prendendo l’inf su q > x, si ha \lim_n F(x_n) \le F(x). Poiché F(x) \le \lim_n F(x_n) per monotonia, si ha la tesi.

3. Convergenza: Sia x un punto di continuità per F. Per ogni \varepsilon > 0, esistono q_1, q_2 \in \mathbb{Q} tali che q_1 < x < q_2 e F(x) - \varepsilon \le F(q_1) \le G(q_1) e G(q_2) \le F(q_2) \le F(x) + \varepsilon. Allora:

   F(x) - \varepsilon \le G(q_1) = \lim_k F_{\mu_{n_k}}(q_1) \le \liminf_k F_{\mu_{n_k}}(x)

   \limsup_k F_{\mu_{n_k}}(x) \le \lim_k F_{\mu_{n_k}}(q_2) = G(q_2) \le F(x) + \varepsilon

   Per l’arbitrarietà di \varepsilon, F_{\mu_{n_k}}(x) \to F(x).

Dalla relazione \mu((a, b]) = F(b) - F(a) si definisce una misura finita \mu tale che \mu_{n_k} \to \mu vagamente. Poiché \sup_n \mu_n(\mathbb{R}) = 1, per la Proposizione 2 la convergenza è anche debole e \mu(\mathbb{R}) \le 1.

\forall \mu \in \mathcal{M}, \quad \mu(K^\complement) < \varepsilon

Dimostrazione (Esempio 3). Sia \varepsilon > 0. Poiché \{\mu\} è tesa, esiste un compatto K tale che \mu(K^\complement) < \varepsilon. Sia \alpha > 0 tale che K \subseteq [-\alpha, \alpha], allora \mu([-\alpha, \alpha]^\complement) < \varepsilon. Consideriamo una funzione continua f “trapezoidale” tale che \bbone_{[-\alpha, \alpha]} \le f \le \bbone_{[-\alpha-1, \alpha+1]} (come in figura).

Dalla convergenza stretta \int f \mu_n \to \int f \mu, e osservando che:

1 - \varepsilon < \mu([-\alpha, \alpha]) \le \int f \mu = \lim_{n \to \infty} \int f \mu_n

ne segue che per n abbastanza grande (diciamo n > n_\varepsilon), si ha:

\int f \mu_n \ge \int f \mu - \varepsilon \ge 1 - 2\varepsilon

Dunque, per n > n_\varepsilon:

\mu_n([-\alpha-1, \alpha+1]) \ge \int f \mu_n \ge 1 - 2\varepsilon \implies \mu_n([-\alpha-1, \alpha+1]^\complement) \le 2\varepsilon

Per i primi n_\varepsilon termini, essendo un insieme finito, esiste un compatto K' tale che \mu_n(K'^\complement) < 2\varepsilon per ogni n \le n_\varepsilon. Allora K'' = K' \cup [-\alpha-1, \alpha+1] è il compatto cercato che soddisfa la condizione di tensione per tutta la successione (con 2\varepsilon al posto di \varepsilon).

Dimostrazione.

(\Leftarrow) Supponiamo \mathcal{M} tesa. Sia (\mu_n)_{n \ge 1} \subseteq \mathcal{M} una successione. Per il Teorema di Helly, esiste una sottosuccessione (\mu_{n_k})_{k \ge 1} che converge vagamente (e quindi debolmente, essendo le misure limitate) a una misura finita \mu. Mostriamo che \mu è una misura di probabilità. Sappiamo che per ogni \varepsilon > 0 esiste \alpha > 0 tale che \mu_{n_k}([-\alpha, \alpha]) \ge 1 - \varepsilon per ogni k. Sia f una funzione continua “trapezoidale” tale che \bbone_{[-\alpha, \alpha]} \le f \le \bbone_{[-\alpha-1, \alpha+1]}.

Allora:

\mu([-\alpha-1, \alpha+1]) \ge \int f \, \mathrm{d}\mu = \lim_{k \to \infty} \int f \, \mathrm{d}\mu_{n_k} \ge \limsup_{k \to \infty} \mu_{n_k}([-\alpha, \alpha]) \ge 1 - \varepsilon

Facendo tendere \varepsilon \to 0, si ha \mu(\mathbb{R}) \ge 1 - \varepsilon per ogni \varepsilon, quindi \mu(\mathbb{R}) = 1. Poiché \mu è una misura di probabilità, la convergenza vaga (con \mu_{n_k}(\mathbb{R}) \to \mu(\mathbb{R})) implica la convergenza stretta.

(\Rightarrow) Supponiamo per assurdo che \mathcal{M} non sia tesa. Allora esiste \varepsilon > 0 tale che per ogni compatto K, esiste \mu \in \mathcal{M} con \mu(K) < 1 - \varepsilon. In particolare, per ogni n \in \mathbb{N}, esiste \mu_n \in \mathcal{M} tale che \mu_n([-n, n]) < 1 - \varepsilon. Se esistesse una sottosuccessione (\mu_{n_k}) convergente strettamente a una misura di probabilità \mu, allora tale sottosuccessione dovrebbe essere tesa (per l’Esempio 3 visto in precedenza). Ma per costruzione, nessuna sottosuccessione di (\mu_n) può essere tesa, il che è un assurdo.

\forall f \in C_b: \quad
\mathbb{E}[f(X_n)] \xrightarrow{n} \mathbb{E}[f(X)]

Dimostrazione.

1. Sia f \in C_b. Allora f \circ g \in C_b per la continuità di g e la limitatezza di f.

2. Supponiamo X_n \to X in probabilità. Sia f \in C_b, allora da ogni sottosuccessione (X_{n_k})_{k \ge 1} si può estrarre una sottosottosuccessione (X_{n_{k_j}})_{j \ge 1} che converge a X quasi certamente. Per la continuità di f, si ha f(X_{n_{k_j}}) \to f(X) q.c. e, poiché f è limitata, per il teorema della convergenza dominata si ha \mathbb{E}[f(X_{n_{k_j}})] \to \mathbb{E}[f(X)]. Dunque ogni sottosuccessione della successione numerica (\mathbb{E}[f(X_n)])_{n \ge 1} ha una sottosottosuccessione convergente a \mathbb{E}[f(X)], il che implica che tutta la successione converge a \mathbb{E}[f(X)].

3. Per la convergenza in probabilità a una costante c, vogliamo mostrare che \mathbb{E}[1 \wedge |X_n - c|] \to 0. La funzione f(x) = 1 \wedge |x - c| è continua e limitata. Per l’ipotesi di convergenza in legge, si ha \mathbb{E}[f(X_n)] \to \mathbb{E}[f(c)] = 1 \wedge |c - c| = 0, che prova la tesi.

X_n = \begin{cases} U & \text{se } n \text{ è dispari} \\ 1 - U & \text{se } n \text{ è pari} \end{cases}

F_{X_n}(t) \to \begin{cases} 1 & t > 0 \\ 1/2 & t = 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}

F_X(t) = \begin{cases} 1 & t \ge 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}

Dimostrazione.

1. Poiché la funzione x \mapsto e^{itx} è continua e limitata per ogni t fissato, la tesi segue direttamente dalla definizione di convergenza in legge:

   \phi_{X_n}(t) = \mathbb{E}[e^{itX_n}] \to \mathbb{E}[e^{itX}] = \phi_X(t)

2. Supponiamo che \phi_{X_n}(t) \to \phi(t) con \phi continua in 0. Consideriamo la famiglia di misure \{\mathbb P_{X_n}\}_{n \ge 1} su \mathbb{R}. Se mostriamo che questa famiglia è tesa, allora per il Teorema di Prohorov esiste una sottosuccessione \mathbb P_{X_{n_k}} che converge strettamente a una misura di probabilità \mathbb P_X. Sia X una variabile aleatoria con legge \mathbb P_X. Allora per il punto 1 si ha \phi_{X_{n_k}}(t) \to \phi_X(t), ma per ipotesi \phi_{X_{n_k}}(t) \to \phi(t), quindi \phi = \phi_X. Poiché la funzione caratteristica determina univocamente la legge, ogni sottosuccessione convergente deve convergere alla stessa legge \mathbb P_X, il che implica che tutta la successione converge in legge a X.

   Dimostrazione della tensione. Sia \delta > 0. Per ogni variabile aleatoria Y, vale la diseguaglianza:

   \mathbb{P}\left(|Y| > \frac{2}{\delta}\right) \le \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi_Y(t)) \, dt

   Infatti, sostituendo la definizione di funzione caratteristica \phi_Y(t) = \mathbb{E}[e^{itY}] e scambiando l’ordine di integrazione per il teorema di Fubini-Tonelli (essendo l’integrando limitato):

   \begin{aligned}
       \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi_Y(t)) \, dt &= \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} \mathbb{E} [1 - e^{itY}] \, dt = \frac{1}{\delta} \mathbb{E} \left[ \int_{-\delta}^{\delta} (1 - e^{itY}) \, dt \right]
   \end{aligned}

   Poiché l’integrale della parte immaginaria \sin(tY) su un intervallo simmetrico è nullo, rimane solo la parte reale:

   \begin{aligned}
       \dots &= \frac{1}{\delta} \mathbb{E} \left[ \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \cos(tY)) \, dt \right] \\
       &= \frac{1}{\delta} \mathbb{E} \left[ \left( t - \frac{\sin(tY)}{Y} \right)_{t=-\delta}^{t=\delta} \right] = \frac{1}{\delta} \mathbb{E} \left[ 2\delta - \frac{2 \sin(\delta Y)}{Y} \right] \\
       &= 2 \mathbb{E} \left[ 1 - \frac{\sin(\delta Y)}{\delta Y} \right]
   \end{aligned}

   Osserviamo che se |\delta Y| > 2, allora \left| \frac{\sin(\delta Y)}{\delta Y} \right| \le \frac{1}{|\delta Y|} \le \frac{1}{2}, quindi 1 - \frac{\sin(\delta Y)}{\delta Y} \ge \frac{1}{2}. Ne segue:

   2 \mathbb{E} \left[ 1 - \frac{\sin(\delta Y)}{\delta Y} \right] \ge 2 \mathbb{E} \left[ \left( 1 - \frac{\sin(\delta Y)}{\delta Y} \right) \bbone_{\{|Y| > 2/\delta\}} \right] \ge 2 \cdot \frac{1}{2} \mathbb{P}\left(|Y| > \frac{2}{\delta}\right) = \mathbb{P}\left(|Y| > \frac{2}{\delta}\right)

   Poiché \phi è continua in 0 e \phi(0)=1, si ha \lim_{\delta \to 0} \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi(t)) \, dt = 0. Sia \varepsilon > 0. Scegliamo \delta abbastanza piccolo tale che \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi(t)) \, dt \le \varepsilon. Fissato tale \delta, per il teorema della convergenza dominata (essendo |\phi_{X_n}| \le 1):

   \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi_{X_n}(t)) \, dt \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi(t)) \, dt

   Quindi per n abbastanza grande:

   \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi_{X_n}(t)) \, dt \le \varepsilon + \frac{1}{\delta} \int_{-\delta}^{\delta} (1 - \phi(t)) \, dt \le 2\varepsilon

   Dalla diseguaglianza iniziale otteniamo che per n grande:

   \mathbb{P}\left(|X_n| > \frac{2}{\delta}\right) \le 2\varepsilon

   il che prova che la successione (X_n)_{n \ge 1} è tesa.

\phi_{X_n}(t) \to \begin{cases} 1 & t = 0 \\ 0 & t \neq 0 \end{cases}

\phi_{X_n^j}(t) = \phi_{X_n}(0, \dots, 0, t, 0, \dots, 0)

\mathbb{P}(\|X_n\| > M) \le \sum_{j=1}^d \mathbb{P}\left(|X_n^j| > \frac{M}{\sqrt{d}}\right)

\bigcap_{j=1}^d \left\{|X_n^j| \le \frac{M}{\sqrt{d}}\right\} \subseteq \{\|X_n\| \le M\}

\pi(\mu, \nu) = \inf \{ \varepsilon > 0 : \mu(A) \le \nu(A^\varepsilon) + \varepsilon \text{ e } \nu(A) \le \mu(A^\varepsilon) + \varepsilon \text{ per ogni Boreliano } A \}

d_{BL}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \left| \int f \, d\mu - \int f \, d\nu \right| : \|f\|_\infty \le 1, \text{Lip}(f) \le 1 \right\}