Vettori Gaussiani

§ Teorema 6.1.1. Sia $(X, Y)$ un vettore gaussiano. Allora $X$ e $Y$ sono indipendenti se e solo se sono non correlati.

Dimostrazione. Se $Cov(X, Y) = 0$ , allora $(X, Y)$ ha matrice di covarianza

 $\begin{pmatrix} Var(X) & 0 \\ 0 & Var(Y) \end{pmatrix}$

quindi la sua funzione caratteristica è

 $\phi_{(X,Y)}(u,v) = e^{i(u,v) \cdot m} e^{-\frac{1}{2} (u,v) Q (u,v)^T} = e^{i u m_1 - \frac{1}{2} u^2 Q_{11}} e^{i v m_2 - \frac{1}{2} v^2 Q_{22}} = \phi_X(u) \phi_Y(v)$

quindi $X$ e $Y$ sono indipendenti. $\square$

Osservazione 6.1.2. Se $X$ e $Y$ sono v.a. reali gaussiane, allora non è detto che $(X, Y)$ sia un vettore gaussiano. Se $(X, Y)$ è un vettore gaussiano e $X, Y$ sono non correlate, allora sono indipendenti.

§ Lemma 6.1.3. Sia $X$ un vettore aleatorio in $L^2$ con matrice di covarianza $Q$ . Allora per ogni $u \in \mathbb{R}^d$ si ha

 $\text{Var}(\langle X, u \rangle) = u^T Q u$

Dimostrazione. Sia $Y = \langle X, u \rangle = \sum_{i=1}^d u_i X_i$ . Allora $\text{Var}(Y) = \mathbb{E}[(Y - \mathbb{E}[Y])^2]$ . Si ha:

 $Y - \mathbb{E}[Y] = \sum_{i=1}^d u_i X_i - \sum_{i=1}^d u_i \mathbb{E}[X_i] = \sum_{i=1}^d u_i (X_i - \mathbb{E}[X_i])$

da cui

 $(Y - \mathbb{E}[Y])^2 = \sum_{i,j=1}^d u_i u_j (X_i - \mathbb{E}[X_i])(X_j - \mathbb{E}[X_j])$

Dunque:

 $\mathbb{E}[(Y - \mathbb{E}[Y])^2] = \sum_{i,j=1}^d u_i u_j \text{Cov}(X_i, X_j) = u^T Q u. \quad \square$

Trasformazioni lineari di gaussiane

§ Proposizione 6.2.1. Se $X \sim N(m, Q)$ a valori in $\mathbb{R}^d$ e $A \in \mathbb{R}^{m \times d}$ , $b \in \mathbb{R}^m$ , allora $AX+b \sim N(Am+b, AQA^T)$ .

Dimostrazione. Per ogni $u \in \mathbb{R}^m$ :

 $u \cdot (AX+b) = u \cdot b + A^T u \cdot X$

è una v.a. reale gaussiana, quindi $AX+b$ è gaussiana. Media e matrice di covarianza seguono dalle formule viste prima.

(Dim formula per Cov: $Cov(AX+b)_{ij} = Cov((AX)_i + b_i, (AX)_j + b_j) = Cov((AX)_i, (AX)_j) = Cov(\sum_h A_{ih} X_h, \sum_k A_{jk} X_k) = \sum_{h,k} A_{ih} Cov(X_h, X_k) A_{jk} = (A Cov(X) A^T)_{ij}$ ). $\square$

Esistenza di vettori gaussiani

§ Proposizione 6.3.1. Data $m \in \mathbb{R}^d$ e $Q \in \mathbb{R}^{d \times d}$ simmetrica semidefinita positiva, allora esiste un vettore aleatorio $X \sim N(m, Q)$ .

Dimostrazione.

1° caso: $m=0, Q=I$ (identità). Prendiamo $X_i, i=1, \dots, d$ i.i.d. $N(0,1)$ e $X = (X_1, \dots, X_d)$ .
2° caso: $m=0, Q$ diagonale $Q = \begin{pmatrix} q_{11} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & q_{dd} \end{pmatrix}$ . Prendiamo $X = (X_1, \dots, X_d)$ con $X_i$ indipendenti, $X_i \sim N(0, q_{ii})$ .
3° caso: m=0, Q generica. \exists U \in \mathbb{R}^{d \times d} ortogonale unitaria e D \in \mathbb{R}^{d \times d} diagonale t.c. Q = U D U^T. Prendiamo S = U \sqrt{D} U^T. S è simmetrica semidefinita positiva.
```
 $\sqrt{D} = \begin{pmatrix} \sqrt{q_{11}} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \sqrt{q_{dd}} \end{pmatrix}$ 
```
Sia Z \sim N(0, I), X = m + S Z. Allora X \sim N(m, S I S^T) = N(m, Q). \square