Teoria della misura & integrazione

Nozioni di base di misura e integrazione

Ricordiamo le seguenti nozioni.

Osserviamo che l’intersezione di classi di Dynkin è ancora una classe di Dynkin, e dunque, in analogia con la definizione di \sigma-algebra generata possiamo dare la seguente definizione.

\bigcup_n A_n = \bigcup_n \left( \bigcup_{k=1}^n A_k \right).

\left( \bigcup C_n \right) \cap B = \bigcup C_n \cap B \in \mathcal{M}.

Poiché una \sigma-algebra è una classe di Dynkin, si può dare una conclusione più precisa.

La dimostrazione della seguente caratterizzazione è elementare.

Vediamo ora due conseguenze immediate, che saranno utili nel seguito. Premettiamo la seguente definizione.

\{A \in \mathcal{F} : \mathbb{P}_1[A] = \mathbb{P}_2[A]\}

Ricordiamo che dati due spazi misurabili (E_1, \mathcal{E}_1) e (E_2, \mathcal{E}_2), la \sigma-algebra prodotto \mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2 tra \mathcal{E}_1 e \mathcal{E}_2 è la \sigma-algebra su E_1 \times E_2 generata dall’insieme (dei rettangoli) \{A_1 \times A_2 : A_1 \in \mathcal{E}_1, A_2 \in \mathcal{E}_2\}. Osserviamo che quest’ultimo insieme è un \pi-sistema.

Il teorema della classe monotona

Una variante del Lemma di Dynkin è il teorema della classe monotona, che presenta ipotesi leggermente differenti ed una analoga conclusione.

Si osservi che, come nel caso di \sigma-algebre o classi di Dynkin, si può verificare elementarmente che l’intersezione di classi monotone è ancora una classe monotona. Si definisce dunque, in maniera analoga a quanto fatto in precedenza per \sigma-algebre o classi di Dynkin, la classe monotona generata da una collezione di insiemi.

Versione funzionale del Lemma di Dynkin

Il Lemma di Dynkin si può reinterpretare in una versione “funzionale”. Premettiamo il seguente risultato di approssimazione. A tal fine definiamo la nozione di funzione semplice. Se (\Omega, \mathcal{F}) è uno spazio di misura, una funzione misurabile reale f : \Omega \to \mathbb{R} si dice semplice se esistono un intero n \ge 1, a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R} e A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal{F} tali che

f = \sum_{i=1}^n a_i \bbone_{A_i}.

f_n(\omega) = \sum_{k=0}^{\lfloor 2^n M \rfloor} \frac{k}{2^n} \bbone_{\left[ \frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n} \right)}(f(\omega)), \qquad \omega \in \Omega,

f_n(x) \le f(x) \le f_n(x) + \frac{1}{2^n},

\left[ \frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n} \right) = \left[ \frac{2k}{2^{n+1}}, \frac{2k+1}{2^{n+1}} \right) \cup \left[ \frac{2k+1}{2^{n+1}}, \frac{2k+2}{2^{n+1}} \right),

f_n(\omega) = n \bbone_{[n, \infty)}(f(x)) + \sum_{k=0}^{n 2^n - 1} \frac{k}{2^n} \bbone_{\left[ \frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n} \right)}(f(\omega)).

Il teorema di estensione di Caratheodory

Se \mathcal{A} è un’algebra di parti di un insieme \Omega, una funzione \mathbb{m} : \mathcal{A} \to [0, \infty] è detta

• additiva se, dati A e B disgiunti, si ha \mathbb{m}(A \cup B) = \mathbb{m}(A) + \mathbb{m}(B) (o, equivalentemente, dati A e B qualsiasi si ha \mathbb{m}(A \cup B) + \mathbb{m}(A \cap B) = \mathbb{m}(A) + \mathbb{m}(B))
• \sigma-additiva se, presa una successione (A_n)_{n \ge 1} di elementi di \mathcal{A} a due a due disgiunti e supponendo che \bigcup_{n \ge 1} A_n sia ancora un elemento di \mathcal{A}, si ha \mathbb{m}(\bigcup_{n \ge 1} A_n) = \sum_{n \ge 1} \mathbb{m}(A_n).

Ricordiamo che se \mathbb{m} è additiva, la \sigma-additività equivale alla proprietà di passaggio al limite sulle successioni crescenti di insiemi, cioè se A_n \uparrow A allora \mathbb{m}(A_n) \uparrow \mathbb{m}(A). Viceversa la proprietà di passaggio al limite sulle successioni decrescenti (cioè A_n \downarrow A \implies \mathbb{m}(A_n) \downarrow \mathbb{m}(A)) (unita alla additività semplice) è più forte della \sigma-additività, ed è equivalente ad essa se \mathbb{m}(\Omega) < +\infty.

Prima di dimostrare il teorema, introduciamo alcuni risultati preliminari.

\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) \le \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A'_n)

Indichiamo con \mathcal{B} la classe degli insiemi che siano unione di una successione crescente di elementi di \mathcal{A},

\mathcal{B} = \left\{ \bigcup_n A_n : (A_n)_{n \ge 0} \subset \mathcal{A}, A_n \subset A_{n+1} \text{ per ogni } n \right\},

e definiamo, se B = \bigcup_{n \ge 1} A_n e A_n \subseteq A_{n+1},

\mathbb{P}(B) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n).

Il Lemma 1.2.2 mostra che questa definizione prolunga la funzione d’insieme \mathbb{P} da \mathcal{A} a \mathcal{B} in modo non ambiguo, cioè non dipende dalla particolare successione crescente (A_n)_{n \ge 1} di insiemi scelta per rappresentare B.

\mathbb{P}(B_{1,n} \cup B_{2,n}) + \mathbb{P}(B_{1,n} \cap B_{2,n}) = \mathbb{P}(B_{1,n}) + \mathbb{P}(B_{2,n})

In particolare la prima proprietà del lemma precedente suggerisce che, se si vuole estendere la probabilità \mathbb{P} ad un insieme più ampio di \mathcal{B}, allora è necessaria un’altra strategia. Pertanto, si definisce, dato C \subseteq \Omega,

\mathbb{P}^*(C) = \inf\{\mathbb{P}(B) : B \in \mathcal{B}, C \subset B\}.

Dalla definizione segue immediatamente che \mathbb{P}^* ristretta a \mathcal{B} coincide con \mathbb{P}.

\mathbb{P}(D_n) \le \mathbb{P}^*(C_n) + \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2^k}

\begin{aligned}
\mathbb{P}(D_{n+1}) &= \mathbb{P}(D_n \cup B_{n+1}) = \mathbb{P}(D_n) + \mathbb{P}(B_{n+1}) - \mathbb{P}(D_n \cap B_{n+1}) \le \\
&\le \mathbb{P}^*(C_n) + \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2^k} + \mathbb{P}^*(C_{n+1}) + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} - \mathbb{P}^*(C_n) \\
&= \mathbb{P}^*(C_{n+1}) + \sum_{k=1}^{n+1} \frac{\varepsilon}{2^k}
\end{aligned}

\mathbb{P}^*(C) \le \mathbb{P}(D) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(D_n) \le \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}^*(C_n) + \varepsilon.

\begin{aligned}
\mathbb{P}^*(C_1 \cup C_2) + \mathbb{P}^*(C_1 \cap C_2) &\le \mathbb{P}(B_1 \cup B_2) + \mathbb{P}(B_1 \cap B_2) = \\
&= \mathbb{P}(B_1) + \mathbb{P}(B_2) \le \mathbb{P}^*(C_1) + \mathbb{P}^*(C_2) + \varepsilon
\end{aligned}

Notiamo che, se C \subseteq \Omega, vale la disuguaglianza \mathbb{P}^*(C) + \mathbb{P}^*(C^\complement) \ge 1 : poniamo allora

\mathcal{C} = \{C \subseteq \Omega \mid \mathbb{P}^*(C) + \mathbb{P}^*(C^\complement) = 1\}

e notiamo che \mathcal{C} \supseteq \mathcal{B} \supseteq \mathcal{A}.

\mathbb{P}^*(C_1 \cup C_2) + \mathbb{P}^*(C_1 \cap C_2) \le \mathbb{P}^*(C_1) + \mathbb{P}^*(C_2)

\mathbb{P}^*((C_1 \cup C_2)^\complement) + \mathbb{P}^*((C_1 \cap C_2)^\complement) \le \mathbb{P}^*(C_1^\complement) + \mathbb{P}^*(C_2^\complement).

\mathbb{P}^*(C_n) + \mathbb{P}^*(C^\complement) \le \mathbb{P}^*(C_n) + \mathbb{P}^*(C_n^\complement) = 1

\mathbb{P}^*(C) + \mathbb{P}^*(C^\complement) = 1

Il Teorema 1.2.1 è una conseguenza del Teorema 1.2.5. In generale però \mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}. In effetti \mathcal{C} è una \sigma-algebra completa, contiene cioè tutti i sottoinsiemi di un evento di probabilità nulla. Infatti se \mathbb{P}^*[A] = 0, allora

\mathbb{P}^*[A] + \mathbb{P}^*[A^\complement] = \mathbb{P}^*[A^\complement] \le 1,

e quindi A \in \mathcal{C}.

Estensione a misure \sigma-finite

Il Teorema 1.2.1 è valido anche per le misure \sigma-finite, ed in questa sezione indichiamo solo le modifiche necessarie ad adattare il risultato a tali misure. In effetti il Teorema 1.2.1 si estende ad una funzione \mu \sigma-additiva definita su una algebra \mathcal{A} di parti di \Omega e la dimostrazione rimane quasi identica con una sola importante modifica. La classe \mathcal{C} = \{C \subseteq \Omega : \mathbb{P}^*(C) + \mathbb{P}^*(C^\complement) = 1\} deve essere sostituita dalla classe degli insiemi misurabili secondo Caratheodory: A è detto misurabile secondo Caratheodory se per ogni altro sottoinsieme B di \Omega si ha

\mu^*(B) = \mu^*(A \cap B) + \mu^*(A^\complement \cap B),

dove \mu^* è definita come \mathbb{P}^*.

Costruzione canonica di una successione numerabile di lanci

Mostriamo come sia possibile usare il teorema di estensione per costruire successioni di variabili con una data legge. In questa parte ci concentriamo su un caso elementare, e discuteremo il caso generale nel prossimo capitolo. Risolviamo dunque il problema di costruire uno spazio di probabilità che modelli il lancio di infinite monete, con probabilità p \in (0, 1) di ottenere testa (ovvero con distribuzione di Bernoulli di parametro p). Poniamo \Omega = \{0, 1\}^{\mathbb{N}_*}, e definiamo la collezione \mathcal{A} degli insiemi

\{\omega = (\omega_n)_{n \ge 1} : (\omega_n)_{n \in J} \in B\},

al variare di J \subset \mathbb{N}_* finito e B \subset \{0, 1\}^J. In altre parole un insieme di \mathcal{A} è determinato dai risultati su un numero finito di lanci (quelli corrispondenti agli indici in J). La verifica che \mathcal{A} è una algebra è elementare. Definiamo su \mathcal{A} la seguente funzione di insiemi,

\mathbb{P}[A] = \sum_{\omega \in A} \prod_{n \in J} p^{\omega_n} (1-p)^{1-\omega_n}.

Si può dimostrare che \mathbb{P} è una funzione \sigma-additiva su \mathcal{A}, dunque si estende univocamente ad una probabilità, che continuiamo a denotare con \mathbb{P}, su \sigma(\mathcal{A}). Osserviamo che, per un fissato J = \{n_1, n_2, \dots, n_k\} e valori x_1, x_2, \dots, x_k \in \{0, 1\},

\mathbb{P}[\{\omega : \omega_{n_1} = x_1, \omega_{n_2} = x_2, \dots, \omega_{n_k} = x_k\}] = \prod_{i=1}^k p^{x_i} (1-p)^{1-x_i},

e dunque si modellano infiniti lanci indipendenti di una moneta. Questo ci da anche ragione del motivo per cui non funziona cercare di definire direttamente la legge congiunta di un numero infinito di monete, perché in tal caso il prodotto nella formula precedente convergerebbe a 0. Tale conclusione era da attendersi perché \Omega ha la potenza del continuo.

Costruzione di successioni di variabili dipendenti

Si vuole ora applicare il Teorema 1.2.1 di Caratheodory alla costruzione di successioni di variabili (opportunamente) dipendenti. Per capire meglio le definizioni astratte seguenti, si considerino tre variabili aleatorie discrete (X_1, X_2, X_3), allora la legge di (X_1, X_2, X_3) è

\mathbb{P}[X_1 \in A_1, X_2 \in A_2, X_3 \in A_3] =

\tiny = \sum_{x_0 \in A_1} \left( \sum_{x_1 \in A_2} \left( \sum_{x_2 \in A_3} \mathbb{P}[X_3 = x_2 \mid X_1 = x_0, X_2 = x_1] \right) \mathbb{P}[X_2 = x_1 \mid X_1 = x_0] \right) \mathbb{P}[X_1 = x_0],

ed i termini \mathbb{P}[X_1 \in \cdot], \mathbb{P}[X_2 \in \cdot \mid X_1 = x_0], \mathbb{P}[X_3 \in \cdot \mid X_1 = x_0, X_2 = x_1] sono nuclei di probabilità nel senso della definizione seguente.

Si osservi che una probabilità può essere interpretata come un nucleo di probabilità costante rispetto alla prima variabile.

k_1 \otimes k_2(x, B) = \int \left( \int \bbone_B(y, z) k_2((x, y), dz) \right) k_1(x, dy).

Completamento di una probabilità

In questa sezione esponiamo il completamento di una \sigma-algebra rispetto ad una probabilità. Sia (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) uno spazio di probabilità e chiamiamo \mathcal{N} la famiglia dei sottoinsiemi A \subseteq \Omega tali che esiste B \in \mathcal{F} con A \subseteq B e \mathbb{P}[B] = 0. Gli elementi di \mathcal{N} sono chiamati gli insiemi trascurabili di \mathbb{P}. Si verifica elementarmente che, se A \in \mathcal{N} e B \subseteq A anche B \in \mathcal{N}, inoltre \mathcal{N} è stabile per unione numerabile. Indichiamo con \mathcal{F}^\mathbb{P} = \sigma(\mathcal{F} \cup \mathcal{N}) la \sigma-algebra generata da \mathcal{F} e da \mathcal{N}. Questa è chiamata il completamento di \mathcal{F} rispetto alla probabilità \mathbb{P}. Vale la seguente caratterizzazione.

\mathcal{G} = \{A \subset \Omega : \text{esistono } B, C \in \mathcal{F}, B \subset A \subset C, \mathbb{P}[C \setminus B] = 0\}.

\bigcup_{n \ge 1} B_n \subseteq \bigcup_{n \ge 1} A_n \subseteq \bigcup_{n \ge 1} C_n

\left( \bigcup_{n \ge 1} C_n \right) \setminus \left( \bigcup_{n \ge 1} B_n \right) \subseteq \bigcup_{n \ge 1} (C_n \setminus B_n)

Il nome completamento deriva dalla proprietà che se A \in \mathcal{F}^\mathbb{P}, con \mathbb{P}(A) = 0 e B \subseteq A, allora anche B \in \mathcal{F}^\mathbb{P}. Se A \in \mathcal{F}^\mathbb{P}, si dice che A è \mathbb{P}-misurabile.

Su \mathbb{R}, o più in generale su \mathbb{R}^n, il completamento della \sigma-algebra di Borel rispetto alla misura di Lebesgue coincide con la famiglia degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Inoltre l’intersezione delle \sigma-algebre \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)^\mu al variare di tutte le misure \sigma-finite \mu è chiamata la \sigma-algebra degli insiemi universalmente misurabili.

Teoria dell’integrazione di variabili aleatorie reali

L’esposizione di questo paragrafo è ristretta all’integrazione rispetto ad una probabilità, tuttavia praticamente tutti i risultati sono validi per l’integrazione rispetto a una misura \sigma-finita, con modifiche marginali nelle dimostrazioni. Ricordiamo che una variabile aleatoria su un dato spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) a valori in uno spazio di misura (E, \mathcal{E}) è una funzione X : \Omega \to E misurabile rispetto alle \sigma-algebre \mathcal{F} e \mathcal{E}, ovvero

X^{-1}(A) \in \mathcal{F}, \qquad \text{per ogni } A \in \mathcal{E}.

Osserviamo che con un argomento di classe monotona si può mostrare che è sufficiente verificare la condizione precedente solo per i misurabili A in un \pi-sistema di \mathcal{E}. Se la variabile è reale, ovvero se E = \mathbb{R} (o E = \mathbb{R}^d), si considera sottinteso che la \sigma-algebra associata è la \sigma-algebra dei Boreliani, cioè la \sigma-algebra generata dagli aperti, o equivalentemente dai chiusi.

In effetti è elementare verificare che

\sigma(X) = \{X^{-1}(A) : A \in \mathcal{E}\}.

Più interessante è studiare la struttura delle variabili aleatorie reali che risultano misurabili rispetto alla \sigma-algebra \sigma(X).

\bbone_{X^{-1}A} = \bbone_A(X).

Y = \lim_n g_n(X) = \limsup_n g_n(X) = (\limsup_n g_n)(X),

1.4.1. Integrazione di variabili aleatorie reali. Sia assegnato uno spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}). Si chiama variabile aleatoria reale una funzione misurabile X : \Omega \to \mathbb{R} rispetto a \mathcal{F} e alla \sigma-algebra dei Boreliani di \mathbb{R}. Una tale variabile aleatoria reale è detta semplice se prende un numero finito di valori o, equivalentemente, se può essere scritta nella forma X = \sum_{i=1}^n a_i \bbone_{A_i}, dove A_1, \dots, A_n sono elementi di \mathcal{F} ed \bbone_{A} indica la funzione indicatrice dell’insieme A.

Per una variabile aleatoria semplice X = \sum_{i=1}^n a_i \bbone_{A_i} possiamo definire l’integrale

\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^n a_i \mathbb{P}(A_i)

È facile verificare che tale numero non dipende dalla particolare forma scelta per rappresentare X e che valgono le seguenti proprietà:

• \mathbb{E}[aX + Y] = a\mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y],
• se X \le Y, allora \mathbb{E}[X] \le \mathbb{E}[Y].

È importante osservare che se la successione (X_n)_{n \ge 1} converge (puntualmente), il limite X è sicuramente misurabile ma non è detto che sia semplice: nel lemma precedente dunque è importante supporre che anche X sia semplice.

\lim_n \mathbb{E}[X_n] \le \lim_n \mathbb{E}[X'_n].

\mathbb{E}[X_n] = \sup_m \mathbb{E}[X_n \wedge X'_m] \le \sup_m \mathbb{E}[X'_m]

Nella costruzione dell’integrale è fondamentale il risultato di approssimazione per mezzo di variabili aleatorie semplici, che abbiamo già visto (Proposizione 1.1.16). Questo permette di enunciare la seguente definizione.

\mathbb{E}[X] = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n],

Notiamo che, se X \ge 0, \mathbb{E}[X] \in [0, +\infty]. Sono immediati i seguenti risultati.

0 = \mathbb{E}[X] = \lim_n \mathbb{E}[Y_n + \epsilon \bbone_A] = \lim_n \mathbb{E}[Y_n] + \epsilon \mathbb{P}[A] \ge \epsilon \mathbb{P}[A] > 0,

\mathbb{E}[X_n] \uparrow \mathbb{E}[X].

\mathbb{E}[\liminf_{n \to \infty} X_n] \le \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n].

\mathbb{E}[\liminf_{n \to \infty} X_n] = \sup_{n \ge 1} \mathbb{E}[\inf_{k \ge n} X_k] \le \sup_{n \ge 1} \inf_{k \ge n} \mathbb{E}[X_k] = \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n],

Consideriamo ora una variabile aleatoria reale X non necessariamente positiva, e siano X^+ = X \vee 0 e X^- = -(X \wedge 0).

\mathbb{E}[|X|] = \mathbb{E}[X^+] + \mathbb{E}[X^-] < +\infty,

\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[X^+] - \mathbb{E}[X^-].

X + Y = (X_+ + Y_+) - (X_- + Y_-),

Supponiamo ora che si abbia X \ge Y con Y integrabile (questo equivale a dire che \mathbb{E}[X^-] < +\infty). In tal caso ha senso il numero \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[X - Y] + \mathbb{E}[Y]. In effetti in tal caso \mathbb{E}[X] \in (-\infty, +\infty]. In questo caso si dice che X è semi-integrabile inferiormente. Inoltre se (X_n)_{n \ge 1} è una successione di variabili aleatorie con X_n \ge Y qualunque sia n, ed Y integrabile, continuano a valere il teorema di convergenza monotona ed il lemma di Fatou. Naturalmente analoghe proprietà valgono se X \le Y con Y integrabile. Il teorema fondamentale di passaggio al limite sotto il segno di integrale è il seguente.

\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X]

\mathbb{E}[\liminf_{n \to \infty} X_n] \le \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] \le \limsup_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] \le \mathbb{E}[\limsup_{n \to \infty} X_n],

Nel calcolo del valore atteso è di importanza fondamentale la nozione di legge (chiamata probabilità immagine nel contesto della teoria della misura).

\mathbb{P}_X[A] = \mathbb{P}[X \in A], \qquad A \in \mathcal{E}.

Il valore atteso di una variabile dipende solo dalla sua legge, come si vede dalla seguente fondamentale formula di integrazione.

\mathbb{E}[\varphi(X)] = \int \varphi(x) \, \mathbb{P}_X(dx).

Infine la formula precedente vale anche quando \varphi è positiva, senza ipotesi di integrabilità.

\mathbb{E}[\varphi(X)] = \mathbb{P}[X \in A] = \mathbb{P}_X[A] = \int \varphi \, d\mathbb{P}_X.

\varphi(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[\varphi(X)].

L_n(\mathbb{E}[X]) = \mathbb{E}[L_n(X)] \le \mathbb{E}[\varphi(X)]

Spazi di Lebesgue. Dato uno spazio di probabilità (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), si definisce

\mathcal{L}^0(\Omega, \mathcal{F}) = \{X : \Omega \to \mathbb{R} : X \text{ misurabile}\},

e, se p \in [1, \infty],

\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) = \{X \in \mathcal{L}^0(\Omega, \mathcal{F}) : \|X\|_p < \infty\},

dove

\|X\|_p = (\mathbb{E}[|X|^p])^{\frac{1}{p}}, \qquad 1 \le p < \infty,

\|X\|_\infty = \min\{M : \mathbb{P}[|X| > M] = 0\}.

Si può verificare elementarmente che \mathcal{L}^p (per p=0 e 1 \le p \le \infty) è uno spazio lineare e, per 1 \le p \le \infty, \|\cdot\|_p è una semi-norma su \mathcal{L}^p (\|X\|_p = 0 garantisce solo che X=0 q.c.). Per ottenere spazi normati, la soluzione è quozientare rispetto all’uguaglianza quasi certa. La norma e la struttura di spazio lineare sono stabili rispetto al quoziente, e i corrispondenti spazi che si ottengono sono denotati L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}). Una immediata conseguenza della disuguaglianza di Jensen è che, se p \le q, allora \mathcal{L}^q \subset \mathcal{L}^p e L^q \subset L^p (si veda Corollario 1.4.15).

Si conclude questa parte con alcune elementari ma fondamentali disuguaglianze. Si premette la seguente considerazione. Se 1/p + 1/q = 1, con 1 < p, q < \infty, e se x, y > 0 (altrimenti la disuguaglianza è banale), allora xy \le 1/p x^p + 1/q y^q. Infatti, per convessità dell’esponenziale,

xy = \exp\left( \frac{1}{p} \log x^p + \frac{1}{q} \log y^q \right) \le \frac{1}{p} \exp(\log x^p) + \frac{1}{q} \exp(\log y^q) = \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} y^q.

|\mathbb{E}[XY]| \le \frac{1}{p} \mathbb{E}[|X|^p] + \frac{1}{q} \mathbb{E}[|Y|^q]

\mathbb{E}[|XY|] \le \frac{1}{p} \mathbb{E}[|X|^p] + \frac{1}{q} \mathbb{E}[|Y|^q].

Si osserva che la disuguaglianza precedente continua a esser vera anche se X \notin \mathcal{L}^p o Y \notin \mathcal{L}^q.

|\mathbb{E}[XY]| \le \|X\|_p \|Y\|_q

Nel caso particolare p=q=2, la disuguaglianza xy \le \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} y^q è la elementare disuguaglianza 2xy \le x^2 + y^2, e la disuguaglianza in Proposizione 1.4.17 è nota come disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

1.4.3. Estensione a misure \sigma-finite. Anche la costruzione dell’integrale è sostanzialmente identica per misure \sigma-finite, la sola vera differenza è nella definizione di funzione semplice. In effetti in tal caso si chiamano funzioni semplici le funzioni che possono essere scritte nella forma f = \sum_{i=1}^n a_i \bbone_{A_i}, con A_1, \dots, A_n \in \mathcal{F}, e con \mu(A_i) < +\infty. Il risultato fondamentale di approssimazione (Proposizione 1.1.16) rimane valido con questa nuova definizione di funzione semplice. È bene puntualizzare che la diseguaglianza di Jensen (Proposizione 1.4.14) è vera solo con le probabilità. Se \mu è una misura \sigma-finita su \mathcal{E} e f : E \to F una applicazione misurabile, si definisce allo stesso modo la misura immagine \nu = f(\mu). Nel linguaggio della teoria geometrica della misura, la misura immagine è chiamata usualmente pushforward e indicata con f_\# \mu. La misura immagine \nu = f(\mu) non è necessariamente \sigma-finita, tuttavia se lo è vale di nuovo la formula di integrazione

\int_F \varphi(x) \, \nu(dx) = \int_E (\varphi \circ f)(t) \, \mu(dt).